OliForum Matematico

Questo problema viene dalla gara della Mathesis di Brescia di quest'anno.

Determinare per quali interi positivi $ k $ il polinomio
$ a^{2k} + a^k b^k + b^{2k} $
è irriducibile negli interi.

Cosa intendi per essere riducibile negli interi?

Un polinomio di questo tipo si può scrivere come $ (a^k+b^k)^2 - a^k b^k $.
Questa differenza con $ k = 2n $ diventa:
$ (a^{2n} + b^ {2n})^2 - a^ {2n} b^ {2n} = (a^ {2n} + b^ {2n} + a^n b^n)(a^{2n} + b^{2n} - a^n b^n) $. Quindi se $ k $ è pari il polinomio è riducibile.
Se $ k $ è dispari è chiaro che non è riducibile, poiché non si può applicare la differenza di quadrati.

mantis ha scritto: Se $ k $ è dispari è chiaro che non è riducibile, poiché non si può applicare la differenza di quadrati.

Questo è chiaro mi sembra alquanto poco chiaro....cosi non dimostri nulla, perchè questa non è una implicazione

Maioc92 ha scritto:

mantis ha scritto: Se $ k $ è dispari è chiaro che non è riducibile, poiché non si può applicare la differenza di quadrati.

Questo è chiaro mi sembra alquanto poco chiaro....cosi non dimostri nulla, perchè questa non è una implicazione

In effetti non è molto chiaro..
Allora possiamo dire che se $ k = 2n + 1 $ si ha $ (a^{2n+1} + b^{2n+1})^2 - a^{2n+1} b^{2n+1} $ che porta a $ (a^{2n+1} + b^{2n+1} + a^{n+\frac{1}{2}} b^{n+\frac{1}{2}})(a^{2n+1} + b^{2n+1} - a^{n+\frac{1}{2}} b^{n+\frac{1}{2}}) $ che non è negli interi... va meglio?

Va peggio.

E' come dire che 37 è un numero primo perché 37/2 fa 18,5 che non è intero.
E' vero che 37 è primo, ma dire che non è pari non basta per dimostrarlo.

Willy67 ha scritto:Cosa intendi per essere riducibile negli interi?

Intendo che può essere scritto come prodotto di due polinomi in $ a $ e $ b $ a coefficienti interi.

E'

$ a^{2k} + a^k b^k + b^{2k} = \displaystyle\frac{a^{3k} - b^{3k}}{a^k - b^k} $.

Quindi è il "falso quadrato" di $ a^k-b^k $, che se non sbaglio è proprio irriducibile se l'esponente $ k $ è dispari. Sicuramente si può dim che non ha radici intere, ma non so se ciò basta per dire che è irriducibile. Se sì perché? Se no, perché?

Gauss91 ha scritto:Se no, perché?

$ {x}^{5}+{x}^{4}+1 = \left( {x}^{2}+x+1\right) \,\left( {x}^{3}-x+1\right) $
Questo polinomio non ha radici intere ma è riducibile negli interi

Suggerimento:

$ x^2+x+1|x^{2n}+x^n+1 $ Per ogni n che non sia divisibile per tre . Ora bisogna capire però quali sono quelli con n divisibile per tre che sono effettivamente non scomponibili...

Se serve posto la dimostrazione...

Dato che per la prima volta da quando ho scoperto cosa sono sfrutto le radici dell'unità in una dimostrazione ci tengo a postarla xD Dimostro il lemmino ;)
Chiamo $ $P(x)=x^2+x+1 $ e $ $Q(x)=x^{2n}+x^n+1 $
Dimostro che P(x)|Q(x) se e solo se n non è divisibile per 3.
Chiamo $ $k,\bar{k} $ le radici di P(x) che usando la formula si rivelano essere complesse. È chiaro che se $ $Q(k)=0 $ allora vale anche $ $Q(\bar{k})=0 $ perchè altrimenti il polinomio non sarebbe a coefficienti reali. Noto che k è una radice terza dell'unità.
Dimostro: $ $k^{2n}+k^n+1=0 $ con n non divisibile per 3. Divido in casi:
3|n==> vale $ $Q(k)=k^{2\cdot 3z}+k^{3z}+1=1+1+1=3 $ perchè vale $ k^3=1 $
3|n+1: Sfruttando sempre che k è una radice terza dell'unità si riconduce a $ Q(k)=k^2+k+1 $ che vale 0 perchè è proprio P(x) di cui k è radice
3|n+2: Identico al caso precedente.

Spero di non aver toppato perchè mi piace particolarmente sta dimostrazione :) (magari ce n'è una molto più facile... anche se questa è davvero easy)

Ciao dario!

(Per quanto ne so io) E' giusta! Tra l'altro anche io l'ho fatto così!

In ogni caso si poteva anche scomporre a mano, ma era un po' più laborioso...



Questo però non risponde alla domanda di Giove... manca ancora un pezzo...

Uhm... sto vicino alla conclusione...
Sono riuscito a dimostrare (con un metodo moooolto simile al precedente quindi lascio a chi vuole provare) che se chiamo m la valutazione 3-adica di n allora vale
$ $x^{2\cdot 3^m}+x^{3^m}+1|x^{2n}+x^n+1 $
Quindi rimane da dimostrare che $ $x^{2\cdot 3^k}+x^{3^k}+1 $ è irriducibile... ma non so se ci riesco :|
Spero di non aver sbagliato... comunque problema bellissimo (e ottimo per allenarsi ad usare le radici dell'unità)

Già... concordo!

Sono arrivato anche io al tuo stesso punto! Ma non riesco a dimostrare che se n è una potenza di tre allora il polinomio è EFFETTIVAMENTE irriducibile...

O meglio... ho quasi fatto, ma devo accertarmi che sia giusto!

Se ce la fai prima tu, fammi sapere tutto!

Ho concluso... usando il teoremone xD
Praticamente $ $x^{2\cdot 3^k}+x^{3^k}+1 $ è il $ $3^{k+1}-esimo $ polinomio ciclotomico che per lemma noto è irriducibile negli interi.
Non so quanto sia difficile la dimostrazione del lemma... ma se è ad un livello accettabile sarebbe bello se qualcuno la postasse... o mettesse un link, sempre e solo se è capibile da uno con le mie conoscenze.

p.s. comunque bel problema... con una tesi che può tornare utile in un esercizio