Disuguaglianze con modulo e sottrazioni

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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SARLANGA
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Disuguaglianze con modulo e sottrazioni

Messaggio da SARLANGA » 14 dic 2009, 16:47

Si abbiano le due seguenti disuguaglianze $ \displaystyle \forall \varepsilon > 0 $, con $ \displaystyle \varepsilon $ reale:
$ \displaystyle \mid p-a \mid < \varepsilon $
$ \displaystyle \mid p-c \mid < \varepsilon $
Mettiamo che $ \displaystyle p $, $ \displaystyle a $ e $ \displaystyle c $ sono numeri reali. Come faccio a dimostrare rigorosamente che $ \displaystyle \forall \varepsilon > 0 $
$ \displaystyle \mid a-c \mid < \varepsilon $

Io avevo in mente di scrivere $ \displaystyle \mid p-c \mid = \mid (p-a)+(a-c) \mid $ ma il valore assoluto mi porterebbe ad usare la disugluaglianza triangolare, cioè - temo - fuori strada.
[quote="edriv"]chiunque prima di sapere non sa, e prima di saper fare non fa...[/quote]
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Giacomo: "Non è che uno deve saper costruire i mobili per poterli apprezzare".
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edriv
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Messaggio da edriv » 14 dic 2009, 17:42

mi verrebbe da dire che
se un numero reale nonnegativo è minore di ogni reale positivo, allora questo numero a zero.
se il valore assoluto della differenza di due numeri è zero, allora i due numeri sono uguali.

In questo caso, l'ipotesi implica che p=a e p=c, da qui dimostriamo che a=c, che implica facilmente la tesi, essendo 0 minore di ogni reale positivo.

Non è che hai sbagliato il testo? (o che io l'ho interpretato male)

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SARLANGA
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Messaggio da SARLANGA » 14 dic 2009, 18:44

Il fatto è che $ \displaystyle p, c, a $ non sono numeri reali, bensì successioni (il testo direbbe razionali) e quelle due disuguaglianze sono valide definitivamente (ovvero da un valore di $ \displaystyle n $ in poi.
Questo cambia tutto, suppongo...
[quote="edriv"]chiunque prima di sapere non sa, e prima di saper fare non fa...[/quote]
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Re: Disuguaglianze con modulo e sottrazioni

Messaggio da Gatto » 14 dic 2009, 19:09

Se valgono definitivamente, vuol dire che esistono rispettivamente $ n_{\varepsilon}, m_{\varepsilon} $ per cui sono verificate per ogni valore maggiore.

Sia $ n = max(n_{\varepsilon}, m_{\varepsilon}) $, allora $ |a-c| = |a-p+p-c| \leq |a-p| +|p-c| $ eccetera eccetera
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SARLANGA
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Messaggio da SARLANGA » 14 dic 2009, 21:06

hai ragione gatto, grazie!
Non riuscivo a trovare quella relazione.
[quote="edriv"]chiunque prima di sapere non sa, e prima di saper fare non fa...[/quote]
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EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 14 dic 2009, 21:12

Uh che macello.
Se una cosa è una successione, scrivetela come una successione.
Quindi abbiamo $ \{a_n\}, \ \{c_n\}, \ \{p_n\} $ successioni di numeri reali tali che, per ogni $ \epsilon>0 $ esiste $ n_0 $ tale che
$ |a_n-p_n|<\epsilon $
$ |c_n-p_n|<\epsilon $
per ogni $ n\geq n_0 $.
Allora, fissato $ \epsilon $ esiste $ n_1 $ tale che
$ |a_n-p_n|<\epsilon/2 $
$ |c_n-p_n|<\epsilon/2 $
per ogni $ n\geq n_1 $ e dunque
$ |a_n-c_n|\leq|a_n-p_n|+|c_n-p_n|<\epsilon $
per ogni $ n\geq n_1 $.
Volevi questo?

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SARLANGA
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Messaggio da SARLANGA » 14 dic 2009, 22:37

EvaristeG ha scritto:$ |a_n-c_n|\leq|a_n-p_n|+|c_n-p_n| $
Mi spieghi questo passaggio? Se volevi applicare la disuguaglianza triangolare, io non la vedo...e poi - forse non ho capito - secondo te quello che ha fatto gatto (ovviamente riscritto con le notazioni corrette delle successioni) non è giusto?
[quote="edriv"]chiunque prima di sapere non sa, e prima di saper fare non fa...[/quote]
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Messaggio da EvaristeG » 15 dic 2009, 00:07

Onestamente, non mi sembra che il post precedente al mio abbia una conclusione... quell'eccetera non vuol dire nulla.
Per quanto riguarda quel passaggio, è esattamente l'unico che c'è anche nel post di gatto, quindi perché ora non lo capisci più?

$ |a-b|\leq |a-x|+|b-x| $
è esattamente la disuguaglianza triangolare....

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SARLANGA
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Messaggio da SARLANGA » 15 dic 2009, 08:33

Ok, grazie pre la chiarificazione. E' assolutamente la disuguaglianza triangolare, solo che ero abituato a vederlo come "il valore assoluto della somma è minore o uguale alla somma dei valori assoluti" (detto in parole spicciole).
[quote="edriv"]chiunque prima di sapere non sa, e prima di saper fare non fa...[/quote]
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Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 15 dic 2009, 11:02

SARLANGA: ma queste cose le devi studiare per scuola, o che cosa? Stai ponendo dei quesiti palesemente non olimpici, stai cercando palesemente di leggere un testo che sta definendo una costruzione dei reali, e stai arrancando come una bestia.
Se sapere come sono definiti i reali è una tua velleità e non un'imposizione, forse ti può essere utile sapere che:
1) olimpicamente è irrilevante,
2) tentare di farlo senza le basi che evidentemente ti mancano è poco saggio.
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

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SARLANGA
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Messaggio da SARLANGA » 15 dic 2009, 15:33

Tibor Gallai ha scritto:SARLANGA: ma queste cose le devi studiare per scuola, o che cosa? Stai ponendo dei quesiti palesemente non olimpici, stai cercando palesemente di leggere un testo che sta definendo una costruzione dei reali, e stai arrancando come una bestia.
Se sapere come sono definiti i reali è una tua velleità e non un'imposizione, forse ti può essere utile sapere che:
1) olimpicamente è irrilevante,
2) tentare di farlo senza le basi che evidentemente ti mancano è poco saggio.
Sai, un post come quello sopra non andrebbe neanche considerato. Ma siccome in questo forum regna la gentilezza, ti dico pacatamente che lavorare sui moduli e le disuguaglianze (in questo caso sulle successioni) è a mio avviso utilissimo per prepararsi a delle olimpiadi. Al contrario, intervenire nelle discussioni (a volta senza neanche leggere i thread) con sentenze che sembrano - te lo confesso - misere e perdipiù arroganti e con l'intento di seminar zizzania mi pare del tutto fuori luogo. Spero di esserti stato d'aiuto. :|

Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 15 dic 2009, 15:41

Ti dico: se sei un troll, ti considero un professionista.
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

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Gatto
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Messaggio da Gatto » 15 dic 2009, 17:12

EvaristeG ha scritto:quell'eccetera non vuol dire nulla.
Finiva semplicemente con $ \leq \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon $... non l'ho scritto semplicemente perchè se stava seguendo il discorso era immediato, se non lo stava seguendo era inutile che copiasse.

Riguardo alle notazioni mea culpa, avrei dovuto metterne di più umane invece che usare quelle del testo.
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