Vietnam TST 2005

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Maioc92
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Vietnam TST 2005

Messaggio da Maioc92 » 25 nov 2009, 19:34

ecco un problema su cui sbatto la testa da ieri sera senza troppi risultati...non credo sia particolarmente difficile ma non mi vengono idee (più che altro non mi vengono quelle giuste).
Siano a,b,c reali positivi. Dimostrare che
$ \displaystyle\sum_{cyc}\frac{a^3}{(a+b)^3}\ge\frac 3 8 $
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

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Reginald
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Messaggio da Reginald » 25 nov 2009, 20:06

..ho come la sensazione di scrivere un mucchio di eresie, ma ci provo..

la disugiaglianza è omogenea, quindi posso porre$ abc=1 $(maioc docet :D )..dato che a,b,c sono reali positivi uso le medie..in questo caso la cubica e la geometrica,dato che so abc=1

$ $(\sum_{cyc}{\frac{a^3}{(a+b)^3}}/3)^{1/3}\ge (abc)^{1/3}=1 $,

Il caso di uguaglianza è quindi il caso minimo, e si ha se a=b=c=1 dato che è 1 il loro prodotto.

Se sostituisco a=b=c=1 viene proprio 3/8

:oops: ..ho la sensazione che non funzioni...

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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 25 nov 2009, 20:28

purtroppo non funziona...intanto quando applichi CM-GM il prodotto che ti salta fuori è quello delle 3 frazioni, e non abc.
Inoltre in generale non si può applicare una disuguaglianza che porta a un bound diverso da quello richiesto e dire "il caso di uguaglianza si ha se...." e sostituire. Questo va fatto quando hai trovato il bound giusto per mostrare che è effettivamente raggiungibile, altrimenti la dimostrazione è sbagliata dal punto di vista logico.
Comunque non ti abbattere, il problema è ancora aperto (almeno per me) :lol:
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

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Reginald
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Messaggio da Reginald » 25 nov 2009, 20:33

Maioc92 ha scritto:purtroppo non funziona...intanto quando applichi CM-GM il prodotto che ti salta fuori è quello delle 3 frazioni, e non abc.
.. :oops: che fesso....vado a dormire che è meglio. :oops:

travelsga
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Messaggio da travelsga » 26 nov 2009, 15:15

Propongo questa soluzione
$ \displaystyle\frac{1}{3}\sum_{cyc}{(\frac{a}{a+b})^3}\ge\frac{1}{8} $
Per CM-AM ho che $ \displaystyle LHS\ge (\frac{1}{3}\sum_{cyc}{\frac{a}{a+b}})^3 $
Per omogeneità posso porre $ a+b+c=1 $ e riscrivere il RHS come
$ \displaystyle (\frac{1}{3}\sum_{cyc}{a\cdot\frac{1}{1-c}})^3\ge\frac{1}{8} $ , considero pertanto la funzione $ f(x)=\dfrac{1}{1-x} $, questa risulta convessa in $ (0,1) $
(la derivata seconda è positiva), tenendo conto della positività di $ a,b,c $, quindi $ 0<a,b,c<1 $
posso applicare la disuguaglianza di convessità pesata con a,b,c (ricordo che si è assunto a+b+c=1)
$ af(c)+bf(a)+cf(b)\ge f(ab+bc+ca)=\dfrac{1}{1-(ab+bc+ca)} $
Osservo quindi $ ab+bc+ca=\dfrac{1}{2}[(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)]=\dfrac{1}{2}[1^2-(a^2+b^2+c^2)] $ ma, da QM-AM $ a^2+b^2+c^2\ge 3(\dfrac{a+b+c}{3})^2=\dfrac{1}{3} $
pertanto $ ab+bc+ca\ge \dfrac{1}{2}(1-\dfrac{1}{3})=\dfrac{1}{3}\Rightarrow f(ab+bc+ca)\ge\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{3}{2} $ sostituisco infine questo valore nell'espressione
$ LHS\ge (\dfrac{1}{3}f(ab+bc+ca))^3\ge (\dfrac{1}{2})^3 $

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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 26 nov 2009, 17:15

travelsga ha scritto:$ af(c)+bf(a)+cf(b)\ge f(ab+bc+ca)=\dfrac{1}{1-(ab+bc+ca)} $
Osservo quindi $ ab+bc+ca=\dfrac{1}{2}[(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)]=\dfrac{1}{2}[1^2-(a^2+b^2+c^2)] $ ma, da QM-AM $ a^2+b^2+c^2\ge 3(\dfrac{a+b+c}{3})^2=\dfrac{1}{3} $
pertanto $ ab+bc+ca\ge \dfrac{1}{2}(1-\dfrac{1}{3})=\dfrac{1}{3} $
Hai sbagliato il verso, perchè in realtà ti viene $ ab+bc+ca\le\frac 1 3 $...anche io avevo provato una strada del genere ma l'avevo abbandonata proprio per questo motivo....
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kn
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Messaggio da kn » 26 nov 2009, 22:22

La disuguaglianza è equivalente a $ \displaystyle~\sum_{cyc}\frac{1}{(1+x)^3} $ con $ \displaystyle~xyz=1 $, cioè a $ \displaystyle~M_{-3}(1+x,1+y,1+z)\le 2 $.. Se si potesse dimostrare che $ \displaystyle~M_{-1}(1+x,1+y,1+z)\le 2 $ seguirebbe subito la tesi, ma purtroppo è falso.. prima di perdere le speranze ho provato con $ \displaystyle~M_{-2}(1+x,1+y,1+z)\le 2 $ e funziona! :o
I conti sono un po' lunghi, comunque poi ho visto che su MathLinks hanno usato la stessa mia idea ma hanno usato un lemma che dimostra questa disuguaglianza più elegantemente:
$ \displaystyle~\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\ge\frac{1}{1+xy} $
Qualcuno vuole provare a dimostrare questo lemma?
Viviamo intorno a un mare come rane intorno a uno stagno. (Socrate)

Gauss91
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Messaggio da Gauss91 » 26 nov 2009, 23:17

ma x e y sono positivi o non c'è condizione in questo lemma?
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"

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Messaggio da Maioc92 » 27 nov 2009, 17:10

bravo kn, i miei complimenti per la soluzione (io ormai ci avevo rinunciato :cry: )!!!!Ho provato a farmi tutti i calcoli per sicurezza e hai ragione, alla fine si mette tutto a posto con AM-GM :D.
Comunque il lemma è semplice da dimostrare, infatti svolgendo i calcoli si ha da dimostrare che $ 1+x^3y+xy^3\ge x^2y^2+2xy $, che si sistema facilmente con la solita AM-GM
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dario2994
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Messaggio da dario2994 » 27 nov 2009, 17:12

Vediamo se ho capito la sostituzione di kn...
Praticamente fisso
$ $x=\frac{b}{a} $
e cicliche. Da cui deriva la limitazione xyz=1.
Poi parto da:
$ $M_{-3}(\frac{a}{a+b},\frac{b}{b+c},\frac{c}{c+a})\le 2 $
A cui si può arrivare svolgendo i calcoli (in teoria al contrario) e notando che si torna alla tesi.
Ora sostituisco ottenendo:
$ $M_{-3}(1+x,1+y,1+z)\le 2 $
Da qua è quasi ovvio sfruttare le disuguaglianze tra medie... provo con -2, svolgendo i calcoli viene qualcosa tipo:
$ $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}\ge \frac{3}{4} $
E da qua... non so che fare xD
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai

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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 27 nov 2009, 17:17

dario2994 ha scritto:Vediamo se ho capito la sostituzione di kn...
Praticamente fisso
$ $x=\frac{b}{a} $
e cicliche. Da cui deriva la limitazione xyz=1.
Poi parto da:
$ $M_{-3}(\frac{a}{a+b},\frac{b}{b+c},\frac{c}{c+a})\le 2 $
A cui si può arrivare svolgendo i calcoli (in teoria al contrario) e notando che si torna alla tesi.
Ora sostituisco ottenendo:
$ $M_{-3}(1+x,1+y,1+z)\le 2 $
Da qua è quasi ovvio sfruttare le disuguaglianze tra medie... provo con -2, svolgendo i calcoli viene qualcosa tipo:
$ $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}\ge \frac{3}{4} $
E da qua... non so che fare xD
Da qua....ti fai tutti i calcoli sperando di non sbagliare :lol:
Comunque ecco l'espressione finale da dimostrare per semplificare a tutti la vita:
$ \displaystyle \sum_{cyc}x^2y^2+2\sum_{cyc}x^2y+2\sum_{cyc}xy^2+5\sum_{cyc}x^2\ge 2\sum_{cyc}xy+2\sum_{cyc}x+18 $
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

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