Disequazione

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Veluca
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Disequazione

Messaggio da Veluca » 06 ott 2009, 22:10

$ \sqrt[3]{36-x}+\sqrt[3]{36+x}\ge6,x\in\mathbb{R} $
Trovare l'intervallo delle x per cui questa diseguaglianza viene verificata.

Prima che qualcuno dica che sembra un compito a casa, dico già da subito che ha ragione xD. Solo che nè io nè la mia professoressa siamo riusciti a risolverla (tra l'altro l'ha inventata lei) senza usare le derivate, quindi chiedo aiuto qui :D


edit: modificato il testo su richiesta di jordan
Ultima modifica di Veluca il 06 ott 2009, 22:37, modificato 1 volta in totale.

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exodd
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Messaggio da exodd » 06 ott 2009, 22:21

tramite le medie 1/3-esime, abbiamo
$ LHS\le2\sqrt[3]{36} $
per x reali
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
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"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"

Veluca
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Messaggio da Veluca » 06 ott 2009, 22:24

1) non è valido solo per entrambi i radicandi positivi?
2) comunque sia viene che è valida solo per $ -28\le x\le28 $, ma volevo un metodo di arrivarci "scolastico" o quantomeno che non implichi l'uso di derivate
Ultima modifica di Veluca il 06 ott 2009, 22:46, modificato 4 volte in totale.

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Messaggio da jordan » 06 ott 2009, 22:25

@Exodd, ok, ma non credo sia quella la richiesta.
@Veluca, definito f(x) il membro di sinistra, allora per ogni e>0 esiste un v reale che per ogni x>v vale f(x)<e..per cui :?:
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jordan
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Re: Disequazione

Messaggio da jordan » 07 ott 2009, 00:13

Veluca ha scritto:$ \sqrt[3]{36-x}+\sqrt[3]{36+x}\ge6,x\in\mathbb{R} $
Trovare l'intervallo delle x per cui questa diseguaglianza viene verificata.
Ok, ora ha senso. Definiamo $ f(\cdot):\mathbb{R} \to \mathbb{R}:x \to \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{72-x} $ siano $ a_1,a_2,\ldots $ tutti e i soli numeri reali tali che $ f(a_i)=6 $ per ogni $ i $ (a priori non sai nemmeno se tale sequenza è numerabile). Allora, per ogni $ i $, vale $ 6^3=f^3(a_i)=6^2 \cdot 2 + 3 f(a_i) \sqrt[3]{a_i(72-a_i)} $ cioè $ a_i(72-a_i) $ è una costante fissata. Ciò mostra che $ i \le 2 $. Per verificare che $ i $ è esattamente $ 2 $ è sufficiente notare che $ f(x)=f(72-x) $ e che $ f(2^3)=6 $. Inoltre $ f(0)>6 $ e la funzione $ f(\cdot) $ è continua, per cui $ x \in \mathbb{R} $ verifica $ f(x) \ge 6 $ se e solo se $ x \in [2^3,2^6] $. []
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Messaggio da EvaristeG » 07 ott 2009, 10:25

Beh, in realtà andrebbe anche escluso che fuori dall'intervallo non sia ancora maggiore di 6, cmq non è un enorme problema, basta calcolarne il valore in punti abbastanza grandi in modulo...

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Messaggio da sprmnt21 » 07 ott 2009, 10:34

Veluca ha scritto:1) non è valido solo per entrambi i radicandi positivi?
2) comunque sia viene che è valida solo per $ -28\le x\le28 $, ma volevo un metodo di arrivarci "scolastico" o quantomeno che non implichi l'uso di derivate
Prova ad usare la scomposizione della somma di due cubi, per risolvere l'equazione associata.

Veluca
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Messaggio da Veluca » 07 ott 2009, 14:08

Sì, si fa prima elevando al cubo, l'avevo anche fatto così, ma avevo escluso questo metodo perchè semplicemente se lo dico in classe mi prendono per pazzo :D.. sapete com'è a scuola no?

sprmnt21
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Messaggio da sprmnt21 » 07 ott 2009, 14:16

Veluca ha scritto:Sì, si fa prima elevando al cubo, l'avevo anche fatto così, ma avevo escluso questo metodo perchè semplicemente se lo dico in classe mi prendono per pazzo :D.. sapete com'è a scuola no?
non capisco. Cerchi un metodo elementare per risolvere il problema e dici che l'elevazione al cubo o la scomposizione della somma di cubi non va bene?

perche'?

PS
io non so "com'e' (adesso) a scuola" :-)

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karl
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Messaggio da karl » 07 ott 2009, 15:07

Una soluzione elementare potrebbe fondarsi sulla formula:
$ \displaystyle (u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v) $
Nel caso nostro ,elevando al cubo l'intera disequazione,si ha:
$ \displaystyle 72+3\sqrt[3]{36^2-x^2}(\sqrt[3]{36-x}+\sqrt[3]{36+x})\ge 216 $
Oppure:
$ \displaystyle \sqrt[3]{36^2-x^2}(\sqrt[3]{36-x}+\sqrt[3]{36+x})\ge 48 $
Poiché la somma dei due radicali deve essere non inferiore a 6, si può porre :
$ \displaystyle \sqrt[3]{36^2-x^2} \ge 8 $
Da cui,elevando di nuovo al cubo, si trae facilmente la soluzione $ -28\le x \le +28 $
Naturalmente si può obiettare che vi sono infinite combinazioni possibili di valori
ma questa mi sembra quella minima...tenuto conto della inequazione iniziale.

Veluca
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Messaggio da Veluca » 07 ott 2009, 18:39

@karl: è la prima idea che avevo avuto, ma non rischi di escludere soluzioni?
@sprmnt21: siamo al livello che non si sa calcolare $ \displaystyle\frac{4\sqrt2}{\sqrt{\frac12}} $

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kn
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Messaggio da kn » 07 ott 2009, 19:36

@Veluca & karl: ponendo $ \displaystyle~y=36-x $ si ha che la disuguaglianza è vera sse $ \displaystyle~\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{72-y}\ge 6 $ sse $ \displaystyle~\sqrt[3]{72-y}\ge 6-\sqrt[3]{y} $ sse $ \displaystyle~72-y\ge 216-108\sqrt[3]{y}+18\sqrt[3]{y^2}-y $ (che una disequazione rimanga equivalente elevandola al cubo lo sanno tutti, del resto la discussione è la cosa su cui purtroppo si batte di più nella nostra scuola...). Ponendo $ \displaystyle~t=\sqrt[3]{y} $ abbiamo $ \displaystyle~18t^2-108t+144\le 0 $ o anche $ \displaystyle~(t-2)(t-4)\le 0 $ o anche $ \displaystyle~2\le t\le 4 $. Questo dà $ \displaystyle~8\le y\le 64 $ o anche $ \displaystyle~-28\le x\le 28 $... Questa la capiscono di sicuro, dato che sanno risolvere le disequazioni di 2° grado.
Viviamo intorno a un mare come rane intorno a uno stagno. (Socrate)

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Messaggio da Maioc92 » 07 ott 2009, 20:42

kn ha scritto:@Veluca & karl: ponendo $ \displaystyle~y=36-x $ si ha che la disuguaglianza è vera sse $ \displaystyle~\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{72-y}\ge 6 $ sse $ \displaystyle~\sqrt[3]{72-y}\ge 6-\sqrt[3]{y} $ sse $ \displaystyle~72-y\ge 216-108\sqrt[3]{y}+18\sqrt[3]{y^2}-y $ (che una disequazione rimanga equivalente elevandola al cubo lo sanno tutti, del resto la discussione è la cosa su cui purtroppo si batte di più nella nostra scuola...). Ponendo $ \displaystyle~t=\sqrt[3]{y} $ abbiamo $ \displaystyle~18t^2-108t+144\le 0 $ o anche $ \displaystyle~(t-2)(t-4)\le 0 $ o anche $ \displaystyle~2\le t\le 4 $. Questo dà $ \displaystyle~8\le y\le 64 $ o anche $ \displaystyle~-28\le x\le 28 $... Questa la capiscono di sicuro, dato che sanno risolvere le disequazioni di 2° grado.
bella soluzione!!!A me non era venuta in mente :roll:
@karl:ma sei sicuro che quel metodo funzioni??Forse sono io che non ho capito ma mi restano dei dubbi :oops:
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

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karl
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Messaggio da karl » 08 ott 2009, 13:42

No,non va bene .Occorrerebbero delle limitazioni : prendila come un tentativo..poco riuscito !!

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goritmi

Messaggio da sprmnt21 » 08 ott 2009, 14:32

Veluca ha scritto:@karl: è la prima idea che avevo avuto, ma non rischi di escludere soluzioni?
@sprmnt21: siamo al livello che non si sa calcolare $ \displaystyle\frac{4\sqrt2}{\sqrt{\frac12}} $
In effetti il mio suggerimento non prevede cose molto complicate. Chiamando (per brevita' di scrittura) A e B le due radici cubiche, dobbiamo risolvre A+B = 6.

Ma A^3 + B^3 = 72

e quindi

(A+B)(A^2-AB+B^2) = A^3+B^3 = 6 (A^2-AB+B^2) = (A+B)^2 -3AB.

Da queste si ha che AB = 8 cioe' x=+/- 28.

A questo punto sappiamo che la funzione f(x)=A+B-6 attraversa l'asse x solo in questi due punti. Notando che per x molto grande in valore assoluto, f(x) e' negativa e che per x=0 e' positiva si ah che f(x)>0 per i valori di x in (-28, +28).


PS

Questa soluzione avrebbe tra laltro il avntaggio di far fare riflessioni sulla continuita' e d'intorni e non solo una mera applicazioni di algoritmi risolutivi.

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