Disequazione

[Veluca]

$ \sqrt[3]{36-x}+\sqrt[3]{36+x}\ge6,x\in\mathbb{R} $
Trovare l'intervallo delle x per cui questa diseguaglianza viene verificata.

Prima che qualcuno dica che sembra un compito a casa, dico già da subito che ha ragione xD. Solo che nè io nè la mia professoressa siamo riusciti a risolverla (tra l'altro l'ha inventata lei) senza usare le derivate, quindi chiedo aiuto qui


edit: modificato il testo su richiesta di jordan

[exodd]

tramite le medie 1/3-esime, abbiamo
$ LHS\le2\sqrt[3]{36} $
per x reali

[Veluca]

1) non è valido solo per entrambi i radicandi positivi?
2) comunque sia viene che è valida solo per $ -28\le x\le28 $, ma volevo un metodo di arrivarci "scolastico" o quantomeno che non implichi l'uso di derivate

[jordan]

@Exodd, ok, ma non credo sia quella la richiesta.
@Veluca, definito f(x) il membro di sinistra, allora per ogni e>0 esiste un v reale che per ogni x>v vale f(x)<e..per cui

[jordan]

$ \sqrt[3]{36-x}+\sqrt[3]{36+x}\ge6,x\in\mathbb{R} $
Trovare l'intervallo delle x per cui questa diseguaglianza viene verificata.

Ok, ora ha senso. Definiamo $ f(\cdot):\mathbb{R} \to \mathbb{R}:x \to \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{72-x} $ siano $ a_1,a_2,\ldots $ tutti e i soli numeri reali tali che $ f(a_i)=6 $ per ogni $ i $ (a priori non sai nemmeno se tale sequenza è numerabile). Allora, per ogni $ i $, vale $ 6^3=f^3(a_i)=6^2 \cdot 2 + 3 f(a_i) \sqrt[3]{a_i(72-a_i)} $ cioè $ a_i(72-a_i) $ è una costante fissata. Ciò mostra che $ i \le 2 $. Per verificare che $ i $ è esattamente $ 2 $ è sufficiente notare che $ f(x)=f(72-x) $ e che $ f(2^3)=6 $. Inoltre $ f(0)>6 $ e la funzione $ f(\cdot) $ è continua, per cui $ x \in \mathbb{R} $ verifica $ f(x) \ge 6 $ se e solo se $ x \in [2^3,2^6] $. []

[EvaristeG]

Beh, in realtà andrebbe anche escluso che fuori dall'intervallo non sia ancora maggiore di 6, cmq non è un enorme problema, basta calcolarne il valore in punti abbastanza grandi in modulo...

[sprmnt21]

1) non è valido solo per entrambi i radicandi positivi?
2) comunque sia viene che è valida solo per $ -28\le x\le28 $, ma volevo un metodo di arrivarci "scolastico" o quantomeno che non implichi l'uso di derivate

Prova ad usare la scomposizione della somma di due cubi, per risolvere l'equazione associata.

[Veluca]

Sì, si fa prima elevando al cubo, l'avevo anche fatto così, ma avevo escluso questo metodo perchè semplicemente se lo dico in classe mi prendono per pazzo .. sapete com'è a scuola no?

[sprmnt21]

Sì, si fa prima elevando al cubo, l'avevo anche fatto così, ma avevo escluso questo metodo perchè semplicemente se lo dico in classe mi prendono per pazzo .. sapete com'è a scuola no?

non capisco. Cerchi un metodo elementare per risolvere il problema e dici che l'elevazione al cubo o la scomposizione della somma di cubi non va bene?

perche'?

PS
io non so "com'e' (adesso) a scuola"

[karl]

Una soluzione elementare potrebbe fondarsi sulla formula:
$ \displaystyle (u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v) $
Nel caso nostro ,elevando al cubo l'intera disequazione,si ha:
$ \displaystyle 72+3\sqrt[3]{36^2-x^2}(\sqrt[3]{36-x}+\sqrt[3]{36+x})\ge 216 $
Oppure:
$ \displaystyle \sqrt[3]{36^2-x^2}(\sqrt[3]{36-x}+\sqrt[3]{36+x})\ge 48 $
Poiché la somma dei due radicali deve essere non inferiore a 6, si può porre :
$ \displaystyle \sqrt[3]{36^2-x^2} \ge 8 $
Da cui,elevando di nuovo al cubo, si trae facilmente la soluzione $ -28\le x \le +28 $
Naturalmente si può obiettare che vi sono infinite combinazioni possibili di valori
ma questa mi sembra quella minima...tenuto conto della inequazione iniziale.

[Veluca]

@karl: è la prima idea che avevo avuto, ma non rischi di escludere soluzioni?
@sprmnt21: siamo al livello che non si sa calcolare $ \displaystyle\frac{4\sqrt2}{\sqrt{\frac12}} $

[kn]

@Veluca & karl: ponendo $ \displaystyle~y=36-x $ si ha che la disuguaglianza è vera sse $ \displaystyle~\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{72-y}\ge 6 $ sse $ \displaystyle~\sqrt[3]{72-y}\ge 6-\sqrt[3]{y} $ sse $ \displaystyle~72-y\ge 216-108\sqrt[3]{y}+18\sqrt[3]{y^2}-y $ (che una disequazione rimanga equivalente elevandola al cubo lo sanno tutti, del resto la discussione è la cosa su cui purtroppo si batte di più nella nostra scuola...). Ponendo $ \displaystyle~t=\sqrt[3]{y} $ abbiamo $ \displaystyle~18t^2-108t+144\le 0 $ o anche $ \displaystyle~(t-2)(t-4)\le 0 $ o anche $ \displaystyle~2\le t\le 4 $. Questo dà $ \displaystyle~8\le y\le 64 $ o anche $ \displaystyle~-28\le x\le 28 $... Questa la capiscono di sicuro, dato che sanno risolvere le disequazioni di 2° grado.

[Maioc92]

@Veluca & karl: ponendo $ \displaystyle~y=36-x $ si ha che la disuguaglianza è vera sse $ \displaystyle~\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{72-y}\ge 6 $ sse $ \displaystyle~\sqrt[3]{72-y}\ge 6-\sqrt[3]{y} $ sse $ \displaystyle~72-y\ge 216-108\sqrt[3]{y}+18\sqrt[3]{y^2}-y $ (che una disequazione rimanga equivalente elevandola al cubo lo sanno tutti, del resto la discussione è la cosa su cui purtroppo si batte di più nella nostra scuola...). Ponendo $ \displaystyle~t=\sqrt[3]{y} $ abbiamo $ \displaystyle~18t^2-108t+144\le 0 $ o anche $ \displaystyle~(t-2)(t-4)\le 0 $ o anche $ \displaystyle~2\le t\le 4 $. Questo dà $ \displaystyle~8\le y\le 64 $ o anche $ \displaystyle~-28\le x\le 28 $... Questa la capiscono di sicuro, dato che sanno risolvere le disequazioni di 2° grado.

bella soluzione!!!A me non era venuta in mente
@karl:ma sei sicuro che quel metodo funzioni??Forse sono io che non ho capito ma mi restano dei dubbi

[karl]

No,non va bene .Occorrerebbero delle limitazioni : prendila come un tentativo..poco riuscito !!

[sprmnt21]

@karl: è la prima idea che avevo avuto, ma non rischi di escludere soluzioni?
@sprmnt21: siamo al livello che non si sa calcolare $ \displaystyle\frac{4\sqrt2}{\sqrt{\frac12}} $

In effetti il mio suggerimento non prevede cose molto complicate. Chiamando (per brevita' di scrittura) A e B le due radici cubiche, dobbiamo risolvre A+B = 6.

Ma A^3 + B^3 = 72

e quindi

(A+B)(A^2-AB+B^2) = A^3+B^3 = 6 (A^2-AB+B^2) = (A+B)^2 -3AB.

Da queste si ha che AB = 8 cioe' x=+/- 28.

A questo punto sappiamo che la funzione f(x)=A+B-6 attraversa l'asse x solo in questi due punti. Notando che per x molto grande in valore assoluto, f(x) e' negativa e che per x=0 e' positiva si ah che f(x)>0 per i valori di x in (-28, +28).


PS

Questa soluzione avrebbe tra laltro il avntaggio di far fare riflessioni sulla continuita' e d'intorni e non solo una mera applicazioni di algoritmi risolutivi.