OliForum Matematico

Consideriamo una successione infinita $ ${x_n} $ di reali positivi tali che $ $x_0=1 $ e $ $x_0\ge x_1\ge\dots $
Dimostrare che esiste un $ $n\ge1 $ tale che:
$ $\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_3}+\dots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\ge3,999 $

Trovare una sequenza per cui, per ogni n:
$ $\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_3}+\dots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}<4 $

Punto b: $ $x_n=\frac{1}{2^n} $
Il punto a lo lascio ad altri dato che dopo averci provato per una settimana mi sono arreso e ho letto la soluzione (e me ne sono pentito xD).

Simpatica!

$ $(x_i-2x_{i+1})^2\geq0\rightarrow\frac{x_i^2}{x_{i+1}}\geq4x_i-4x_{i+1}$ $

Da cui la tesi

Jessica92 ha scritto:Simpatica!

$ $(x_i-2x_{i+1})^2\geq0\rightarrow\frac{x_i^2}{x_{i+1}}\geq4x_i-4x_{i+1}$ $

Da cui la tesi

ehm... mi spiegheresti meglio il "Da cui la tesi"?

$ $\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_3}+\dots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\ge 4 -4x_n$ $
E poichè al crescere di n $ x_n\rightarrow 0 $(altrimenti $ \sum x_i $, che è più debole, divergerebbe) risolvo la a)

E l'uguaglianza ce l'ho quando $ x_{i+1}=2^{-1}x_{i} $

Geniale!