IMO 1982 3

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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julio14
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IMO 1982 3

Messaggio da julio14 » 22 set 2009, 01:42

Consideriamo una successione infinita $ ${x_n} $ di reali positivi tali che $ $x_0=1 $ e $ $x_0\ge x_1\ge\dots $
Dimostrare che esiste un $ $n\ge1 $ tale che:
$ $\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_3}+\dots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\ge3,999 $

Trovare una sequenza per cui, per ogni n:
$ $\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_3}+\dots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}<4 $
"L'unica soluzione è (0;0;0)" "E chi te lo dice?" "Nessuno, ma chi se ne fotte"
[quote="Tibor Gallai"]Alla fine, anche le donne sono macchine di Turing, solo un po' meno deterministiche di noi.[/quote]
Non sono un uomo Joule!!!

dario2994
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Messaggio da dario2994 » 22 dic 2009, 20:42

Punto b: $ $x_n=\frac{1}{2^n} $
Il punto a lo lascio ad altri dato che dopo averci provato per una settimana mi sono arreso e ho letto la soluzione (e me ne sono pentito xD).
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai

Jessica92
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Messaggio da Jessica92 » 03 mag 2010, 00:05

Simpatica!

$ $(x_i-2x_{i+1})^2\geq0\rightarrow\frac{x_i^2}{x_{i+1}}\geq4x_i-4x_{i+1}$ $

Da cui la tesi

Gogo Livorno
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Messaggio da Gogo Livorno » 03 mag 2010, 16:36

Jessica92 ha scritto:Simpatica!

$ $(x_i-2x_{i+1})^2\geq0\rightarrow\frac{x_i^2}{x_{i+1}}\geq4x_i-4x_{i+1}$ $

Da cui la tesi
ehm... mi spiegheresti meglio il "Da cui la tesi"? :oops:

Jessica92
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Messaggio da Jessica92 » 03 mag 2010, 17:03

$ $\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_3}+\dots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\ge 4 -4x_n$ $
E poichè al crescere di n $ x_n\rightarrow 0 $(altrimenti $ \sum x_i $, che è più debole, divergerebbe) risolvo la a)

E l'uguaglianza ce l'ho quando $ x_{i+1}=2^{-1}x_{i} $

Gogo Livorno
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Messaggio da Gogo Livorno » 03 mag 2010, 17:22

Geniale!

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