SNS 2009-2010 per chimici

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Albertopisa
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SNS 2009-2010 per chimici

Messaggio da Albertopisa » 13 set 2009, 00:50

Si dimostri che il numero $ 0,182764... $, ottenuto mettendo in fila tutti i cubi perfetti in ordine crescente, e' irrazionale.

Pairo
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Località: Parma

Messaggio da Pairo » 13 set 2009, 08:33

Un numero è razionale se e solo se la sua scrittura decimale "prima o poi" diventa periodica (eventualmente con periodo 0).

Ci basta dimostrare allora che quel numero non può essere periodico.

Ma questo è evidente se notiamo che possiamo sempre trovare una sequenza di cifre 0 arbitrariamente lunga, corrispondente al cubo delle potenze di dieci. In altre parole, supponendo per assurdo che quel numero abbia periodo di n cifre, possiamo sempre trovare una successione di m zeri consecutivi, con m maggiore di n, il che è evidentemente un assurdo (perchè il periodo non può essere costituito interamente da zeri).

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