Gli Indam 2009 più carucci 4

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
Rispondi
Avatar utente
julio14
Messaggi: 1208
Iscritto il: 11 dic 2006, 18:52
Località: Berlino

Gli Indam 2009 più carucci 4

Messaggio da julio14 » 12 set 2009, 00:57

Sia data una funzione $ $f(x) $ da $ $\mathbb{Z} $ a $ $\mathbb{Z} $ tale che:
$ $f(2009-x)=2009-f(x) $
$ $f(x)\ge x $
Trovare per quanti $ $x $ si ha $ $f(x)=2009 $

fede90
Messaggi: 287
Iscritto il: 04 apr 2007, 21:36
Località: Udine

Re: Gli Indam 2009 più carucci 4

Messaggio da fede90 » 12 set 2009, 11:03

Vogliamo dimostrare che f assume il valore 2009 solo una volta, e solo per x=2009.

Supponiamo che esista un certo $ $\lambda$ $ tale che$ $f(\lambda)=2009$ $. Per la seconda condizione abbiamo $ $f(\lambda)\geq\lambda \Rightarrow \lambda\leq 2009$ $. Dalla prima abbiamo $ $f(2009-\lambda)=0$ $ e riapplicando la seconda condizione si ha $ $f(2009-\lambda)\geq 2009-\lambda \Rightarrow \lambda \geq 2009$ $. Perciò deve essere $ $\lambda=2009$ $

Dimostriamo ora che $ $f(2009)$ $ non può assumere valori diversi da 2009. Intanto dalla seconda condizione abbiamo $ $f(2009)\geq 2009$ $. Supponiamo ora per assurdo che $ $f(2009)>2009$ $. Dalla prima condizione otteniamo $ $f(0)=2009-f(2009)<0$ $, in contrasto con la seconda condizione.

Quindi si ha sempre e solo $ $f(2009)=2009$ $
Bene, prendiamo un pentagono di [tex]$n$[/tex] lati...

Tibor Gallai
Messaggi: 1776
Iscritto il: 17 nov 2007, 19:12

Messaggio da Tibor Gallai » 12 set 2009, 11:13

In brevissimo: se per un qualche x valesse f(x)>x, si avrebbe f(2009-x) < 2009-x, che non è permesso. Quindi f(x)=x per ogni x.
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

Rispondi