Udine 2009

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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eli9o
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Udine 2009

Messaggio da eli9o » 04 set 2009, 11:58

Mostrare che $ |\sin(nx)|\leq n\sin x $ per ogni $ 0\leq x \leq\pi $
Hypotheses non fingo

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Ani-sama
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Messaggio da Ani-sama » 04 set 2009, 12:27

Carino! Provate ad esempio così (suggerimento).
...

dario2994
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Messaggio da dario2994 » 04 set 2009, 12:43

Ho seguito il suggerimento ma ci sono ottime possibilità che abbia toppato lo stesso xD
Induzione su n con x fissato:
Passo base: n=1 $ |sin(x)|\leq sin(x) $ ch è ovviamente vero dato che vale l'uguaglianza essendo sin(x) positivo (per il bound messo per ipotesi)
Passo induttivo: $ |\sin((n+1)x)|=|\sin(nx+x)|=|\sin(nx)\cos(x)+\sin(x)\cos(nx)| $
Inoltre so:
$ |sin(nx)|\leq n\sin(x) $
E dato che cos(x) è sicuramente minore di 1 ottengo:
$ |\sin(nx)\cos(x)|\leq |sin(nx)|\leq n\sin(x) $
E perciò elimino entrambi i termini ottenendo:
$ |sin(x)cos(nx)|\leq sin(x) $
Divido per sin(x) che è sicuramente positivo e ottengo:
$ |cos(nx)|\leq 1 $
Che è vero :)

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Haile
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Messaggio da Haile » 04 set 2009, 12:54

Per Udine 2009 si intende la prova d'ammissione?

Allora è proprio vero che buona parte dei problemi di tali prove è riciclata :shock:
[i]
Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.

[/i]

eli9o
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Messaggio da eli9o » 04 set 2009, 20:24

@ dario2994: secondo me non hai toppato :wink:

Sì, è la prova di ammissione di 2 giorni fa. Pensa che l'ultimo problema di fisica era un SNS :?
Hypotheses non fingo

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Ani-sama
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Messaggio da Ani-sama » 04 set 2009, 20:34

dario2994 ha scritto:Ho seguito il suggerimento ma ci sono ottime possibilità che abbia toppato lo stesso xD
Induzione su n con x fissato:
Passo base: n=1 $ |sin(x)|\leq sin(x) $ ch è ovviamente vero dato che vale l'uguaglianza essendo sin(x) positivo (per il bound messo per ipotesi)
Passo induttivo: $ |\sin((n+1)x)|=|\sin(nx+x)|=|\sin(nx)\cos(x)+\sin(x)\cos(nx)| $[...]
Fin qua tutto bene.
Inoltre so:
$ |sin(nx)|\leq n\sin(x) $
E dato che cos(x) è sicuramente minore di 1 ottengo:
$ |\sin(nx)\cos(x)|\leq |sin(nx)|\leq n\sin(x) $
E perciò elimino entrambi i termini ottenendo:
$ |sin(x)cos(nx)|\leq sin(x) $
Divido per sin(x) che è sicuramente positivo e ottengo:
$ |cos(nx)|\leq 1 $
Che è vero :)
Qui però non mi sembra tornare, oppure torna ma comunque dovresti sforzarti a scriverlo in modo più chiaro perché così ci capisco un po' poco... Comunque, c'è un modo semplice di concludere dall'ultimo "punto buono" a cui eri giunto (suggerimento). :)
...

dario2994
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Messaggio da dario2994 » 04 set 2009, 21:37

Riscrivo la dimostrazione perchè era mucho contorta:

Induzione su n con x fissato:
Passo base: n=1 $ |sin(x)|\leq sin(x) $ ch è ovviamente vero dato che vale l'uguaglianza essendo sin(x) positivo (per il bound messo per ipotesi)
Passo induttivo:
$ |\sin((n+1)x)|=|\sin(nx+x)|= $
$ =|\sin(nx)\cos(x)+\sin(x)\cos(nx)|\leq |sin(nx)+sin(x)| \leq n\sin(x)+\sin(x) $
L'ultima disuguaglianza deriva dal passaggio precedente d'induzione. Il passaggio centrale è dato dalle formule di addizione.

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Ani-sama
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Messaggio da Ani-sama » 04 set 2009, 21:59

dario2994 ha scritto:[...]$ =|\sin(nx)\cos(x)+\sin(x)\cos(nx)|\leq |sin(nx)+sin(x)| \leq n\sin(x)+\sin(x) $
L'ultima disuguaglianza deriva dal passaggio precedente d'induzione. Il passaggio centrale è dato dalle formule di addizione.
In realtà è il passaggio centrale a essere critico. Sembra che tu abbia usato una cosa del genere: $ |ab + cd| \leq |a+c| $ se $ b,d \leq 1 $. Il che però è falso! Attenzione a quei moduli, insomma...
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eli9o
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Messaggio da eli9o » 05 set 2009, 01:10

Andava bene prima dove i moduli erano divisi pezzo per pezzo; sfruttando i risultati che hai ottenuto tu potevi ricostruire così:
$ |\sin(nx+x)|=|\sin(nx)\cos(x)+\sin(x)\cos(nx)|\leq|\sin(nx)\cos(x)|+|sin(x)\cos(nx)|\leq|\sin(nx)|+\sin(x)\leq n\sin(x)+\sin(x) $
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didudo
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Messaggio da didudo » 05 set 2009, 13:18

pari pari
pensavo fosse il forum "belli e abbronzati"....

dario2994
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Messaggio da dario2994 » 05 set 2009, 13:46

Capito l'errore :)
Non sapevo che con disuguaglianza triangolare intendessi:
$ |a+b|\leq|a|+|b| $

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