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Sia $ f(x):=x^2-2 $.
a)Mostrare che per ogni $ y \in \mathbb{R} $ vale $ f(2\cos{y})=2\cos{(2y)} $.
Fissato $ a_0 \in \mathbb{R} $ si definisca la successione degli $ \{a_i\}_{i \in \mathbb{N}} $ di modo tale che $ a_{i+1}=f(a_i) $ per ogni $ i \in \mathbb{N} $.
b) Mostrare che se $ |a_0|>2 $ allora gli $ a_n $ non sono limitati.
c) Supponendo che la successione degli $ a_i $ sia periodica, mostrare che esiste $ q \in \mathbb{Q} $ tale che $ a_0=2\cos(2\pi q) $.
d) Supponiamo invece che tale successione tenda a un limite finito $ \ell $. Mostrare che allora si deve avere, per $ n $ abbastanza grande, $ a_n=-1 $ (e dunque $ l=-1 $), oppure $ a_n=2 $(e dunque $ l=2 $).

a)Per ogni numero reale $ y $ si ha $ cos(2y)=1-2sin^2y $ (per ora non so dimostrarlo,ma ci proverò).
L'uguaglianza da dimostrare diventa $ 4cos^2y-2=2-4sin^2y $,che per la regola del trasporto è equivalente a $ 4sin^2y+4cos^2y=4 $. Dividendo entrambi i membri per $ 4 $ si ottiene $ sin^2y+cos^2y=1 $,che è vera per ogni $ y \in \mathbb{R} $

b) per dimostrare che gli a_n non sono limitati bisogna dimostrare che per ogni n $ a_{n+1}>a_n $, se $ a_0<-2 $, significa che $ a_1=a_0^2-2>2>a_0 $, da qui in poi (anche per il caso $ a_0>2 $), dobbiamo dimostrare che $ a_{n+1}=a_n^2-2>a_n} $, che è vero per ogni $ a_n>2 $, e concludiamo

Non credo basti, perché hai solo dimostrato che è crescente, mentre bisogna dimostrare che la sequenza non è limitata superiormente

Se $ \forall n, a_{n+1}>a_{n} $ allora non puo' essere limitata superiormente per induzione. Non basta?

Forse (anzi, di sicuro) mi sfugge qualcosa

Perché se prendiamo, per esempio, la sequenza: $ a_n=\dfrac{n}{n+1} $
Allora si dimostra facilmente che $ a_{n+1}>a_n $, ma è altrettanto ovvio che $ a_i<1 $ $ \forall i\in\mathbb{N} $, dunque pur essendo crescente è superiormente limitata da 1.

Spiglierg l'induzione non va bene perchè la differenza tra 2 termini consecutivi potrebbe tendere a 0 per esempio questa serie è limitata superiormente ma soddisfa la tua ipotesi:
$ \displaystyle a_{1}=1 $
$ a_{n+1}=a_n+\frac{1}{2^{n+1}} $
Questa ovviamente non diverge ma soddisfa:
$ a_{i+1}>a_i \forall i $

p.s. mi ha preceduto pak-man xD

Ottima argomentazione.

in effetti è vero scusate. Comunque ora provo ad aggiustarlo: allora diciamo che la successione non è superiormente limitata se la differenza tra 2 termini consecutivi è crescente o costante. Quindi bisogna dimostrare che $ a_{n+2}-a_{n+1}\ge a_{n+1}-a_n $, il che si può fare facilmente sostituendo in modo da ottennere un polinomio di quarto grado in a_n e scomponendolo (in questo caso va di fortuna, perchè ha soluzioni -1 e 2).Ora può andare?

EDIT:giusto per fare i perfettini, per giustificare la prima affermazione che messa lì cosi non mi piace tanto, si può chiamare in causa l'archimedeità di R. Infatti abbiamo che, detta h (h reale positivo) la differenza tra 2 termini consecutivi, diciamo $ a_{i+1},a_i $, avremo che il termine $ a_{i+n}\ge a_i+nh $, e per l'archimedeità per ogni reale x esiste sempre un n naturale tale che $ nh>x $

Mi pare di sì

Si ha che:
$ a_{n+2}-a_{n+1}\ge a_{n+1}-a_n $
$ a_n^4-6a_n^2+a_n+6\ge0 $
$ (a_n+1)(a_n-2)(a_n^2+a_n-3)\ge0 $
E poiché $ \left|a_i\right|>2 $ (che deriva direttamente dall'ipotesi $ \left|a_0\right|>2 $) allora è sempre verificata.

Dunque la differenza tra due termini successivi non diminuisce mai ed essendo una serie crescente, non è superiormente limitata.

spugna ha scritto:Per ogni numero reale $ y $ si ha $ cos(2y)=1-2sin^2y $ (per ora non so dimostrarlo,ma ci proverò).

Devo postare anche la dimostrazione di questa identità o sono a posto così?

Direi che non ce n'è bisogno, essendo la (nota) formula di duplicazione del coseno...

già,io ho dimostrato che era crescente,ma non che non era limitata,anche se con mezzo passaggo in più si faceva...le solite idiozie di cui ti accirgi mentre varchi la soglia...

didudo ha scritto: Le solite idiozie di cui ti accorgi mentre varchi la soglia...

Spero che di queste idiozie ne abbiamo fatte almeno un paio a testa... Io ho già dato abbastanza da quel punto di vista!

ei,tu non dovresti essere qui!!!stai per essere segnato nella mia lista nera dei gay!(non so se si può dire sul forum...)