SNS 2009/2010. n°5.

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Davide90
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Messaggio da Davide90 » 29 ago 2009, 13:53

didudo ha scritto:ei,tu non dovresti essere qui!!!stai per essere segnato nella mia lista nera dei gay!(non so se si può dire sul forum...)
[Off Topic clamoroso]Tranquillo, rimango ancora pienamente della mia sponda! È che lei è già tornata a Modena, non è più al mare... :wink: [Fine Off-Topic clamoroso, chiedo scusa ai mod]

Per farmi perdonare posto il punto (c).
Se la successione è periodica, certamente non è superiormente illimitata, dunque per quanto dimostrato al punto (b) abbiamo $ |a_0|\leq2 $.
Allora $ \exists \theta \in \mathbb{R}: |a_o|=2\cos\theta $ : per quanto dimostrato al punto (a), si vede banalmente per induzione che $ a_i=2\cos(2^i\theta) $ (l'altro ieri l'ho dato un po' per scontato, ma direi che sia abbastanza evidente).
Ma gli $ a_n $ sono periodici con periodo $ p $ , dunque $ a_0=a_p \Leftrightarrow 2\cos\theta=2\cos(2^p\theta) $, perciò deve essere $ \theta +2k\pi =2^p \theta, \quad k\in \mathbb{N} $ perciò $ \theta =2\pi \dfrac{k}{2^p-1} $, cioè $ \theta =2\pi q, \quad q\in \mathbb{Q} $.

Per il punto (d) invece mi hanno detto che ci si saltava fuori con la definizione di limite... qualcuno ci vuole provare?
"[L'universo] è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche; [...] senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto." Galileo Galilei, Il saggiatore, 1623
[tex] e^{i\theta}=\cos \theta +i \sin \theta[/tex]

Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 29 ago 2009, 14:57

Per il punto (d), si supponga che valga $ $\lim a_n = \ell $.
Allora, per continuità di $ $f $, vale $ $\lim f(a_n) = f(\ell) $.
Ma è ovvio che $ $\lim f(a_n) = \lim a_{n+1} = \lim a_n = \ell $.
Quindi $ $\ell = f(\ell) = \ell^2 - 2 $, da cui $ $\ell=-1 $ oppure $ $\ell=2 $.

E' sufficiente allora dimostrare che $ $x=-1 $ e $ $x=2 $ "respingono" gli $ $a_n $ anziché "attrarli".
Se $ $a_n=-1+\varepsilon $, con $ $-1<\varepsilon<1 $ e $ $\varepsilon \neq 0 $, allora $ $a_{n+1}=-1+\varepsilon(\varepsilon-2) $, e chiaramente $ $|\varepsilon(\varepsilon-2)| > |\varepsilon| $.
Se $ $a_n=2+\varepsilon $, allora $ $a_{n+1}=2+\varepsilon(\varepsilon+4) $, ed anche in questo caso $ $|\varepsilon(\varepsilon+4)| > |\varepsilon| $.
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

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Davide90
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Messaggio da Davide90 » 29 ago 2009, 15:12

Bella soluzione, a vederla così era semplice.
In gara avevo più o meno cappellato che sta funzione o arrivava su -1 oppure 2 e ci rimaneva, oppure non poteva tendervi senza arrivarci (la funzione $ \cos 2^n \theta $, per n grande, non dà certo speranze di assestarsi verso un limite).
Però sono trucchetti di analisi non olimpici, è il primo anno che sono saltati fuori... E certamente a scuola non vedi cose del genere.

Mentre mi stavano strappando il foglio perchè era finito il tempo ho mezzo accennato che -1 e 2 sono i punti di convergenza (mi pare si chiamino così) tra la bisettrice e la parabola $ x^2 -2 $ , magari per pietà potrebbe scappargli qualche punto... :roll:
"[L'universo] è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche; [...] senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto." Galileo Galilei, Il saggiatore, 1623
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doiug.8
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Re:

Messaggio da doiug.8 » 12 ago 2013, 14:44

Tibor Gallai ha scritto: E' sufficiente allora dimostrare che $ $x=-1 $ e $ $x=2 $ "respingono" gli $ $a_n $ anziché "attrarli".
Se $ $a_n=-1+\varepsilon $, con $ $-1<\varepsilon<1 $ e $ $\varepsilon \neq 0 $, allora $ $a_{n+1}=-1+\varepsilon(\varepsilon-2) $, e chiaramente $ $|\varepsilon(\varepsilon-2)| > |\varepsilon| $.
Se $ $a_n=2+\varepsilon $, allora $ $a_{n+1}=2+\varepsilon(\varepsilon+4) $, ed anche in questo caso $ $|\varepsilon(\varepsilon+4)| > |\varepsilon| $.
Scusate se riesumo questo thread. La parte qui su citata mi è poco chiara. Nel senso: non basta dimostrare che $\ell=-1, 2$ ?!

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