Minimo somma di radici quadrate

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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uchiak
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Minimo somma di radici quadrate

Messaggio da uchiak » 25 ago 2009, 16:41

Determinare il minimo valore possibile per l'espressione
$ \sqrt{x^2+1}+\sqrt{(y-x)^2+4}+\sqrt{(z-y)^2+9}+\sqrt{(5-z)^2+36} $
al variare di $ x,y,z $ tra i numeri reali.
Io ho trovato 13, voi?

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Fedecart
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Messaggio da Fedecart » 25 ago 2009, 17:26

Io ho $ 5\dfrac{\sqrt{2}}{2} $...
Ditemi se sbaglio qualcosa.
Ognuno di quei termini fa pensare ad una media quadratica, a meno di un fattore... Trovando il minimo di ogni termine si trova la somma dei minimi e quindi il minimo dell'espressione. Nella disuguaglianza delle medie il minimo coincide col massimo quando tutte le medie coincidono.
Primo Termine
$ \dfrac{(x+1}{2}=\sqrt{dfrac{x^2+1^2}{2}} $
dunque
$ \sqrt{x^2+1}=\sqrt{2}\dfrac{(x+1}{2} $
Faccio lo stesso ragionamento per ogni termine.
Metto in evidenza $ \dfrac{\sqrt{2}}{2} $
e ottengo $ \dfrac{\sqrt{2}}{2}(x+1+y-x+2+z-y+5-z+6) $
e dunque $ 5\dfrac{\sqrt{2}}{2} $

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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 25 ago 2009, 17:44

non sempre il minimo dell'espressione coincide con la somma dei minimi degli elementi che la compongono. Quello che dici tu vale solo se esistono x,y,z tali che
$ x^2=1,(y-x)^2=4,(z-y)^2=9,(5-z)^2=36 $, che mi sembra un sistema senza soluzione, a meno di errori di calcolo

Inoltre un'altra cosa a cui fare attenzione è che si parla di reali, non di reali positivi
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

pak-man
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Messaggio da pak-man » 25 ago 2009, 18:03

È giusto 13.

Prendiamo nel piano cartesiano cinque punti (con $ 0\le x\le y\le z\le5 $):
$ O(0,0) $
$ A(x,1) $
$ B(y,3) $
$ C(z,6) $
$ D(5,12) $

Ora la somma richiesta è la somma $ \overline{OA}+\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD} $, che è minima se tutti i segmenti giacciono su $ ~OD $.
Se tutti i segmenti giacciono su $ ~OD $, lo stesso vale per tutti i punti, dunque la somma richiesta è proprio $ \overline{OD}=13 $.

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Iuppiter
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Messaggio da Iuppiter » 25 ago 2009, 20:10

Bellissima la soluzione di pak-man. Complimenti.

cellulacameratatumorale
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Messaggio da cellulacameratatumorale » 16 dic 2009, 22:02

pak-man ha scritto:È giusto 13.

Prendiamo nel piano cartesiano cinque punti (con $ 0\le x\le y\le z\le5 $):
$ O(0,0) $
$ A(x,1) $
$ B(y,3) $
$ C(z,6) $
$ D(5,12) $

Ora la somma richiesta è la somma $ \overline{OA}+\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD} $, che è minima se tutti i segmenti giacciono su $ ~OD $.
Se tutti i segmenti giacciono su $ ~OD $, lo stesso vale per tutti i punti, dunque la somma richiesta è proprio $ \overline{OD}=13 $.
oddio, per carità non metto in discussione che sia giusta, ma da nOOb posso chiederti come arrivi a dire che le tre vvariabili sono comprese tra 0 e 5 e che i 5 punti da te trovati hanno quelle coordinate?? scusa la domanda da ignorante eh

OriginalBBB
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Messaggio da OriginalBBB » 17 dic 2009, 09:01

Ogni radice corrisponde ad un segmento
Immagine

Devi ricordare che la distanza tra due punti si calcola nel piano cartesiano con
$ \sqrt{(x_{a}-x_{b})^2+(y_{a}-y_{b})^2} $

La prima radice puoi quindi pensarla come
$ \sqrt{(x-0)^2+(1-0)^2} $ da cui ricaviamo il punto A (x;1) e O (0,0)

La seconda come...
$ \sqrt{(y-x)^2+(3-1)^2} $ x era già presente e quindi prendiamo anche l'ordnata del punto precedente

Il resto allo stesso modo. Quindi alla fine non l'ha proprio scelto lui che i punti debbano essere minori di 5

cellulacameratatumorale
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Messaggio da cellulacameratatumorale » 17 dic 2009, 18:49

OriginalBBB ha scritto:Ogni radice corrisponde ad un segmento
Immagine

Devi ricordare che la distanza tra due punti si calcola nel piano cartesiano con
$ \sqrt{(x_{a}-x_{b})^2+(y_{a}-y_{b})^2} $

La prima radice puoi quindi pensarla come
$ \sqrt{(x-0)^2+(1-0)^2} $ da cui ricaviamo il punto A (x;1) e O (0,0)

La seconda come...
$ \sqrt{(y-x)^2+(3-1)^2} $ x era già presente e quindi prendiamo anche l'ordnata del punto precedente

Il resto allo stesso modo. Quindi alla fine non l'ha proprio scelto lui che i punti debbano essere minori di 5
:shock:
Quindi si può dire che ogni somma sotto radice corrisponde alla distanza tra due punti sul piano cartesiano?
(Conta che sono molto profano ) :lol:

spugna
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Messaggio da spugna » 17 dic 2009, 22:20

cellulacameratatumorale ha scritto:
OriginalBBB ha scritto:Ogni radice corrisponde ad un segmento
Immagine

Devi ricordare che la distanza tra due punti si calcola nel piano cartesiano con
$ \sqrt{(x_{a}-x_{b})^2+(y_{a}-y_{b})^2} $

La prima radice puoi quindi pensarla come
$ \sqrt{(x-0)^2+(1-0)^2} $ da cui ricaviamo il punto A (x;1) e O (0,0)

La seconda come...
$ \sqrt{(y-x)^2+(3-1)^2} $ x era già presente e quindi prendiamo anche l'ordnata del punto precedente

Il resto allo stesso modo. Quindi alla fine non l'ha proprio scelto lui che i punti debbano essere minori di 5
:shock:
Quindi si può dire che ogni somma sotto radice corrisponde alla distanza tra due punti sul piano cartesiano?
(Conta che sono molto profano ) :lol:
A patto che sia una somma tra due quadrati.....
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

Maledetti fisici! (cit.)

Willy67
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Messaggio da Willy67 » 18 dic 2009, 22:57

Scusate ma come si fa a determinare quei punti che indica Pac Man?? O meglio, in che modo $ \sqrt {x^2+1} = A(x,1) $$ \sqrt {(y-z)^2+4}= B(y,3) $$ \sqrt {(z-y)^2+9} = C(z,6) $$ \sqrt {(5-z)^2+36} = D (5,12) $?

Willy67
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Messaggio da Willy67 » 18 dic 2009, 23:08

Ho capito... Geniale... Pak man da dove ti è venuta questa idea?

pak-man
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Messaggio da pak-man » 18 dic 2009, 23:39

Willy67 ha scritto:Scusate ma come si fa a determinare quei punti che indica Pac Man?? O meglio, in che modo $ \sqrt {x^2+1} = A(x,1) $$ \sqrt {(y-x)^2+4}= B(y,3) $$ \sqrt {(z-y)^2+9} = C(z,6) $$ \sqrt {(5-z)^2+36} = D (5,12) $?
Il primo punto ha distanza $ \sqrt{x^2+1} $ dall'origine, dunque per comodità consideriamo $ (x,1) $.
Il secondo punto ha distanza $ \sqrt {(y-x)^2+4} $, e poiché la distanza tra due punti $ (x_1,y_1) $ e $ (x_2,y_2) $ è $ \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} $, vediamo che ponendo $ x_1=x $ e $ y_1=1 $ si possono ricavare facilmente le coordinate del secondo punto, e via dicendo per gli altri.
Willy67 ha scritto:Ho capito... Geniale... Pak man da dove ti è venuta questa idea?
Notando che sotto ogni radice c'è una somma di quadrati, e...guarda caso si possono facilmente ricondurre a distanze di punti nel piano cartesiano.
Chiaramente non l'ho notato in gara ma tornando in treno :roll:

Gogo Livorno
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Messaggio da Gogo Livorno » 06 mar 2010, 15:04

Il problema non si risolverebbe lo stesso col metodo pak-man senza porre le variabili comprese fra 0 e 5? Cosa cambia?

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