sns 1980-1981 quesito 1

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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didudo
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sns 1980-1981 quesito 1

Messaggio da didudo » 14 ago 2009, 18:12

Provare la disuguaglianza
$ |x^a-y^a|\leq|x-y|^a $ per ogni $ a $ razionale compreso fra 0 e 1, per ogni $ x,y\geq0 $
pensavo fosse il forum "belli e abbronzati"....

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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 14 ago 2009, 18:48

è immediato con la disuguaglianza tra medie mi pare. Però il fatto che sia dell'80 mi fa credere che esista un metodo ancora più elementare.
A me per adesso non è venuto in mente niente....qualcuno vuole provarci?
Ultima modifica di Maioc92 il 14 ago 2009, 20:44, modificato 1 volta in totale.
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

didudo
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Messaggio da didudo » 14 ago 2009, 19:19

me lo spieghi?
pensavo fosse il forum "belli e abbronzati"....

Natalino
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Messaggio da Natalino » 14 ago 2009, 22:15

Dopo un po' che pensavo ad un modo bello di risolverlo ho pensato che era arrivato il momento di usare le derivate :D .
Però mi ci sono proprio rotto la testa per trovare una soluzione olimpica, soprattutto che sfruttasse il fatto che alfa è razionale (cosa che con le derivate non serve, perchè si dimostra il caso più in generale.)
Se qualcuno ha trovato la soluzione (p vuole dare qualche hint) lo prego di farlo, perché ho ancora la testa che mi fuma :D .
Grazie mille!

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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 15 ago 2009, 00:01

io ho trovato una specie di paradosso....supponendo $ x\ge y $ dobbiamo dimostrare che $ x^a-y^a\le (x-y)^a $. Ora applicando la disuguaglianza tra le medie trovo che $ \displaystyle \sqrt[a] {\frac {(x-y)^a+y^a} 2}\ge \frac{x-y+y} 2=\frac x 2 $ da cui la tesi. Pensavo andasse bene poi mi sono accorto che $ 0<a<1 $ quindi la disuguaglianza dovrebbe avere verso opposto!!! Dove sta l'errore?
Ultima modifica di Maioc92 il 15 ago 2009, 10:43, modificato 1 volta in totale.
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

Natalino
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Messaggio da Natalino » 15 ago 2009, 00:23

No, no, nessun errore :D .
Avevo vagliato anch'io quella strada, ma poi ti accorgi presto che manca un fattore 2 per poter applicare le medie, che comunque ti darebbe un Bound dalla parte opposta. Visto che è un esercizio sns, penso che l'unico modo per farlo sia proprio con lo studio di funzione (in particolare, la dimostrazione usa la derivata seconda)

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julio14
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Messaggio da julio14 » 15 ago 2009, 00:47

La seconda? Io ho usato la prima

Natalino
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Messaggio da Natalino » 15 ago 2009, 09:16

Umh.. la derivata seconda mi dice che la funzione ha concavità verso il basso, quindi in particolare non può essere che

$ f(x+y)\geq f(x) +f(y) $

e quindi la tesi.

La derivata prima mi dice solo che la funzione è crescente, il che non mi aiuta molto. Tu come l'hai sfruttata?

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Messaggio da julio14 » 15 ago 2009, 12:23

Wlog $ $x\ge y $. Derivo in x e ottengo una disuguaglianza banale fra derivate, inoltre in x=y abbiamo l'uguaglianza, segue la tesi.

Ma tra l'altro, nella tua soluzione, com'è che i meno diventano tranquillamente più? Ci sono in ballo esponenziali, la cosa non è così immediata. Volendo ridefinire in modo un po' strano l'esponenziale, potresti dire che per a positivo $ $(-a)^k=-a^k $, ma a questo punto ti perdi la concavità...
Infine, quella che disuguaglianza di convessità è? Da quando 1+1=1?

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Messaggio da Maioc92 » 15 ago 2009, 19:17

in effetti dalla concavità (e di conseguenza dalla disuguaglianza tra medie) mi pare di capire che qui te ne fai ben poco giusto?
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

Natalino
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Messaggio da Natalino » 15 ago 2009, 19:25

wlog $ x\geq y $

definisco $ x-y = z $ e ottengo

$ z^{\alpha}+y^{\alpha} \geq (z+y)^{\alpha} $.

Definisco $ f(t) = t^{\alpha} $ quindi devo dimostrare che

$ f(z+y) \leq f(z) + f(y) $ con y diverso da z

Ora poiché la derivata seconda di f(x) è negativa, si vede con un po' di considerazioni che questo è sempre verificato.

Posso chiederti ancora una cosa riguardo alla tua dimostrazione? tu praticamente hai derivato il LHS e il RHS rispetto a x? Se non ho capito male la dimostrazione è questa: dopo aver derivato i due membri si ha:


$ \alpha x^{\alpha -1 } \leq \alpha (x-y)^{\alpha-1} $ da cui si vede che la derivata della funzinoe LHS è sempre minore di quella RHS e quindi la funzione a destra è sempre minore.

E' quello che hai fatto tu?

P.S. scusa se non ero stato chiaro nel mio precedente messaggio, e scusa se ho impiegato tanto a rispondere. Spero di essere stato più chiaro in questo.

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Messaggio da julio14 » 15 ago 2009, 22:36

Mi sa che hai saltato qualche passaggio di troppo... in particolare non usi il fatto che alfa è compreso tra 0 e 1, ipotesi senza la quale la tesi è banalmente falsa. Applica bene Jensen e tutto quadra.

Quello che ho fatto io è stato di derivare singolarmente le funzioni a LHS e RHS, vedere che fra le due derivate sussiste la disuguaglianza (grazie ad alfa tra 0 e 1), e poiché sussiste anche l'uguaglianza in x=y, allora si ha la tesi.
Volendo, se fatta così è più chiara:
riscrivo il testo come $ $f(x)=(x-y)^{\alpha}-x^{\alpha}+y^{\alpha}\ge 0 $. Derivo f(x) e vedo che è crescente, inoltre in x=y è uguale a 0, segue la tesi.

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Messaggio da Maioc92 » 16 ago 2009, 00:19

julio14 ha scritto:Applica bene Jensen e tutto quadra.
A questo punto se sei riuscito a farlo quadrare postalo cosi mi togli i dubbi....applicando jensen trovo solo che $ \displaystyle \frac {(x-y+y)^a}{2^a}\ge \frac {(x-y)^a+y^a} 2 $, cioè che $ x^a\ge 2^{a-1}((x-y)^a+y^a) $, che mi serve a poco....
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Messaggio da julio14 » 16 ago 2009, 00:51

Ok scusate sul post di Natalino ho detto un paio di boiate :shock: :oops: effetti del caldo torrido. Alfa compreso fra 0 e 1 l'ha usato, nel dire che la derivata seconda è negativa. E a riconferma del mio errore, Jensen è sufficiente solo se è convessa. Il post di Natalino resta però comunque incompleto, perché ad esempio $ $-x^2-100 $ ha la derivata seconda negativa eppure banalmente non rispetta la disuguaglianza.

didudo
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Messaggio da didudo » 17 ago 2009, 19:50

quindi non c'era un modo che non usasse le derivate?
pensavo fosse il forum "belli e abbronzati"....

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