SNSP 1990-91 pr. 3

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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sprmnt21
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SNSP 1990-91 pr. 3

Messaggio da sprmnt21 » 12 ago 2009, 16:01

Dato il sistema

x1+x2+...+x100 = 5050

(x_k)^2- (x_{k-1})^2 = 2k-1 per k = 2, 3, ..., 100,

trovare tutte le soluzioni x1, x2, ...,x100 non negative.

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Noemi91x
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Messaggio da Noemi91x » 12 ago 2009, 16:53

è solo questo il testo? :?

sprmnt21
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Messaggio da sprmnt21 » 12 ago 2009, 16:59

Noemi91x ha scritto:è solo questo il testo? :?
vedi qua:

http://download.sns.it/proveesame/matm_all.pdf

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Noemi91x
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Messaggio da Noemi91x » 12 ago 2009, 17:47

non so se sia giusto...cmq ci provo..
allora ,possiamo scrivere
x^{2}_{k}- x^{2}_{1}= (x^{2}_{k}- x^{2}_{k-1})+ x^{2}_{k-1}- x^{2}_{k-2}+ x^{2}_{k-2}- x^{2}_{k-3}+......+ x_{1}

Sostituendo con i corrispettivi valori,avresti : $ x^{2}_{k}- x^{2}_{1}=(2k-1)+(2k-3)+(2k-5)+...+3 = 2(k-1)[(2k-1)+3]= k^{2}-1

da cui x_k= sqrt (k^2 -1 +x_1)
e come puoi verificare nn ci sono altre soluzioni oltre x_1=1

didudo
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Messaggio da didudo » 13 ago 2009, 23:38

sccome non ci capisco niiente psto qualcosa anh'io:
intanto si noti come $ x_k=k $ è soluzione del sistema,infatti;
$ k^2-(k-1)^2=2k-1 $ e $ 1+2+...+100=100*101/2=5050 $, inoltre la successione è crescente siccome $ x_k>=0 e x_k^2>x_{k-1}^2 $ i termini nn possono essere irrazionali,perchè una somma di irrazionali da un irrazionale (direi) mentre 5050 è intero.quindi $ x_k $ può essere scritto come a/b e $ x_{k+1} $ come c/d, con a,b,c,d naturali e $ (a,b)=1 (c,d)=1 $.$ (a/b-c/d)(a/b+c/d)=2k-1 $ quindi $ a^2d^2-c^2b^2=(2k-1)b^2d^2 $ cioè $ b^2 $ divide $ a^2d^2 $ e $ b $ divide $ d $.con lo stesso ragionamento d divide b,cioè $ b=d $ quindi abbiamo quindi se gli x fossero razionali avrebbero tutti lo stesso denominatore b e numeratore $ a_k $ tc$ (a_k,b)=1 $ sommando fradi loro le varie equazioni del sistema si nota che $ x_m^2-x_n^2=j $con $ 0<n<m<101 ,m,n,j $naturali. ma per quanto detto prima $ a_m^2-a_n^2=(2k-1)b^2 $ e perciò $ b $ divide $ a_m+a_n $ o $ b $ divide $ a_m-a_n $ cioè $ a_m \equiv +o-a_n \pmod{b^2} $ e questo non può avvenire a coppie a due a due disgiunte di 100 termini,a meno che $ a_k \equiv -a_k \pmod{b^2} $ per qualunque 0<k<101 ,che vale solo per b=1,quindi $ x_k $ è intero maggiore o uguale a zero.quindi la soluzione $ x_k=k $ è unica. troppo lungo?beh,non avete mai parlato con mio nonno.
pensavo fosse il forum "belli e abbronzati"....

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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 14 ago 2009, 00:01

didudo ha scritto:una somma di irrazionali da un irrazionale
$ (2+\sqrt 2)+(2-\sqrt 2) $
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

didudo
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Messaggio da didudo » 14 ago 2009, 00:05

ok.facciamo finta che maioc92 non abbia mai detto niente,ok?
pensavo fosse il forum "belli e abbronzati"....

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Messaggio da Maioc92 » 14 ago 2009, 00:12

ecco la soluzione di noemi tradotta in latex....cosi è più comprensibile
noemi91x ha scritto: $ x^{2}_{k}- x^{2}_{1}= (x^{2}_{k}- x^{2}_{k-1})+ x^{2}_{k-1}- x^{2}_{k-2}+ x^{2}_{k-2}- x^{2}_{k-3}+......+ x_{1}^2 $

Sostituendo con i corrispettivi valori,avresti :$ $ x^{2}_{k}- x^{2}_{1}=(2k-1)+(2k-3)+(2k-5)+...+3 = 2(k-1)[(2k-1)+3]= k^{2}-1 $

da cui $ x_k= \sqrt {k^2 -1 +x_1^2} $
e come puoi verificare nn ci sono altre soluzioni oltre $ x_1=1 $
che direi è anche corretta
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

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Messaggio da eli9o » 14 ago 2009, 00:26

Metto anche la mia dato che l'ho fatto ieri ed è veloce.

Fissato $ x_1 $ ottieni in modo univoco tutti gli altri termini.

Per $ x_1=1 $ ottieni la soluzione.

Per $ x_1<1 $ avremo $ x_2<2 $, $ x_3<3 $ ... quindi $ \sum x_i<5050 $.

Basta scambiare i segni per il maggiore.
Hypotheses non fingo

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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 14 ago 2009, 00:36

ciao elio!!!In effetti è quello il modo in cui si dovrebbe concludere che $ x_1=1 $ è l'unica soluzione anche con il modo di noemi (che ha reso esplicita la dipendenza). Da questo passaggio direi che non si scappa :D
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

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Messaggio da Noemi91x » 14 ago 2009, 09:50

ma perchè a me nn mi spunta scritto in latex :?

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Messaggio da Maioc92 » 14 ago 2009, 11:02

i comandi li hai messi tutti....però hai dimenticato la cosa più importante:le tag di inizio e fine. Senza quelle per forza non ti viene il latex
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

didudo
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Messaggio da didudo » 14 ago 2009, 17:22

ma $ x_1 $ non potrebbe anche essere maggiore di 1?cioè non è mai stato detto che le x siano intere...
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Messaggio da Noemi91x » 14 ago 2009, 19:44

ma se x_1 fosse maggiore di 1 quella somma risulterebbe maggiore di 5050

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