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Sia fissata una retta $ r $ nello spazio $ \mathbb{R}^3 $ e un punto $ P $ non appartenente a $ r $. Sia $ h $ la loro distanza minima.
Sia $ S $ l'insieme di tutti e soli i punti $ X $ per i quali la distanza di $ X $ da $ r $ è maggiore o uguale al doppio di $ XP $.

Quanto vale il volume di $ S $?

Nel piano cartesiano, sia $ r $ l'asse $ x $ e $ P $ il punto di coordinate $ (0;h) $. Si imposta così la disequazione:
$ |y|\geq2\cdot\sqrt{x^2+(y-h)^2} $.
Sviluppando tutti i conti, si trova che il dominio piano rappresentato dalla disequazione è un'ellisse i cui quattro vertici sono:
$ \displaystyle{A_1\left(-\frac{h}{\sqrt{3}};\frac{4h}{3}\right),A_2\left(\frac{h}{\sqrt{3}};\frac{4h}{3}\right),B_1\left(0;\frac{2h}{3}\right),B_2(0;2h)} $
Ora, l'area di un'ellisse è pari a $ \pi ab $ dove $ a $ e $ b $ sono i semiassi. Quindi l'area è $ \displaystyle{\pi\cdot\frac{|h|}{\sqrt{3}}\cdot\frac{2|h|}{3}}=\frac{2\sqrt{3}h^2\pi}{9}} $.
A questo punto... boh!

Senonchè siamo in $ \mathbb{R}^3 $..

Lo so, appunto... Non avevo voglia di impostare una disequazione in 3 variabili perché non so nulla di quadriche...

Ok, mi sono un po' istruito... La retta $ r $ è l'asse $ x $ e $ P $ è il punto $ (0;h;0) $. Rifacendo tutti i conti dovrebbe venir fuori uno sferoide oblato di equazione (dopo la traslazione $ \displaystyle{y\rightarrow y+\frac{4}{3}h} $):
$ \displaystyle{\frac{3}{h^2}x^2+\frac{9}{4h^2}y^2+\frac{9}{4h^2}z^2=1} $
Il volume è allora:
$ \displaystyle{V=\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{\sqrt{3}|h|}{3}\cdot\frac{2|h|}{3}\cdot\frac{2|h|}{3}=\frac{16\sqrt{3}|h|^3\pi}{81}} $
Corretto?

Enrico Leon ha scritto:Corretto?

Right!

C'è un metodo più veloce, jordan? Visto che l'hai postato in Algebra e non in Geometria...

Naa, più o meno è ciò che dici tu..comunque sì, il risultato è giusto, viene da IMC2009 (non ne sapevo dell'esistenza prima del problema di ma_go)