Il volume di uno strano solido

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jordan
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Il volume di uno strano solido

Messaggio da jordan » 07 ago 2009, 19:34

Sia fissata una retta $ r $ nello spazio $ \mathbb{R}^3 $ e un punto $ P $ non appartenente a $ r $. Sia $ h $ la loro distanza minima.
Sia $ S $ l'insieme di tutti e soli i punti $ X $ per i quali la distanza di $ X $ da $ r $ è maggiore o uguale al doppio di $ XP $.

Quanto vale il volume di $ S $?
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Enrico Leon
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Messaggio da Enrico Leon » 07 ago 2009, 22:33

Nel piano cartesiano, sia $ r $ l'asse $ x $ e $ P $ il punto di coordinate $ (0;h) $. Si imposta così la disequazione:
$ |y|\geq2\cdot\sqrt{x^2+(y-h)^2} $.
Sviluppando tutti i conti, si trova che il dominio piano rappresentato dalla disequazione è un'ellisse i cui quattro vertici sono:
$ \displaystyle{A_1\left(-\frac{h}{\sqrt{3}};\frac{4h}{3}\right),A_2\left(\frac{h}{\sqrt{3}};\frac{4h}{3}\right),B_1\left(0;\frac{2h}{3}\right),B_2(0;2h)} $
Ora, l'area di un'ellisse è pari a $ \pi ab $ dove $ a $ e $ b $ sono i semiassi. Quindi l'area è $ \displaystyle{\pi\cdot\frac{|h|}{\sqrt{3}}\cdot\frac{2|h|}{3}}=\frac{2\sqrt{3}h^2\pi}{9}} $.
A questo punto... boh!
Se usiamo una calcolatrice a 9 cifre, la probabilità che hai tu di fare 6 al SuperEnalotto con una giocata minima è la stessa di quella che ho io che non gioco.

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jordan
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Messaggio da jordan » 08 ago 2009, 00:03

Senonchè siamo in $ \mathbb{R}^3 $.. :roll:
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Enrico Leon
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Messaggio da Enrico Leon » 08 ago 2009, 10:09

Lo so, appunto... Non avevo voglia di impostare una disequazione in 3 variabili perché non so nulla di quadriche...
Se usiamo una calcolatrice a 9 cifre, la probabilità che hai tu di fare 6 al SuperEnalotto con una giocata minima è la stessa di quella che ho io che non gioco.

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Messaggio da Enrico Leon » 08 ago 2009, 10:42

Ok, mi sono un po' istruito... La retta $ r $ è l'asse $ x $ e $ P $ è il punto $ (0;h;0) $. Rifacendo tutti i conti dovrebbe venir fuori uno sferoide oblato di equazione (dopo la traslazione $ \displaystyle{y\rightarrow y+\frac{4}{3}h} $):
$ \displaystyle{\frac{3}{h^2}x^2+\frac{9}{4h^2}y^2+\frac{9}{4h^2}z^2=1} $
Il volume è allora:
$ \displaystyle{V=\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{\sqrt{3}|h|}{3}\cdot\frac{2|h|}{3}\cdot\frac{2|h|}{3}=\frac{16\sqrt{3}|h|^3\pi}{81}} $
Corretto?
Se usiamo una calcolatrice a 9 cifre, la probabilità che hai tu di fare 6 al SuperEnalotto con una giocata minima è la stessa di quella che ho io che non gioco.

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Messaggio da FeddyStra » 08 ago 2009, 10:49

Enrico Leon ha scritto:Corretto?
Right!
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]

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Messaggio da Enrico Leon » 08 ago 2009, 10:56

C'è un metodo più veloce, jordan? Visto che l'hai postato in Algebra e non in Geometria...
Se usiamo una calcolatrice a 9 cifre, la probabilità che hai tu di fare 6 al SuperEnalotto con una giocata minima è la stessa di quella che ho io che non gioco.

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Messaggio da jordan » 11 ago 2009, 19:00

Naa, più o meno è ciò che dici tu..comunque sì, il risultato è giusto, viene da IMC2009 (non ne sapevo dell'esistenza prima del problema di ma_go)
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