Alla ricerca di un massimo..

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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jordan
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Alla ricerca di un massimo..

Messaggio da jordan » 23 giu 2009, 15:14

Own. Siano dati $ x_1,x_2,\ldots,x_n,y_1,y_2,\ldots,y_n,z_1,z_2,\ldots,z_n, $ reali positivi tali che:
i) $ x_1+x_2+\ldots+x_n=a $
ii) $ y_1^2+y_2^2+\ldots+y_n^2=b $
iii) $ z_1^3+z_2^3+\ldots+z_n^3=c $


Trovare il massimo di $ \sqrt{x_1y_1z_1}+\sqrt{x_2y_2z_2}+\ldots + \sqrt{x_ny_nz_n} $

Ps. Molto facile.. :wink:
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Enrico Leon
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Messaggio da Enrico Leon » 23 giu 2009, 16:46

Molto facile dici...... :roll: Per curiosità, potresti postare un problema che per te è difficilissimo.....?

Natalino
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Messaggio da Natalino » 23 giu 2009, 17:08

Se la mia soluzione è giusta Jordan sta perdendo colpi, perché l'ultima volta ho dovuto penare come un matto per risolvere un problema a suo dire molto facile :D .
Allora:

$ \displaystyile \sqrt{{x_1}{y_1}{z_1}}+...+\sqrt{{x_n}{y_n}{z_n}}\leq \frac{{x_1}+{y_1}{z_1}}{2}+...+\frac{{x_n}+{y_n}{z_n}}{2}=\frac{a}{2}+\frac{{y_1}{z_1}+...+{y_n}{z_n}}{2} $ per AM-GM. Continuando ad usare la disuguaglianza tra le medie, si ha:

$ \frac{a}{2}+\frac{{y_1}{z_1}+...+{y_n}{z_n}}{2}\leq \frac{a}{2}+\frac{{y_1}^2+{z_1}^2+...+{y_n}^2+{z_n}^2}{4}=\frac{a}{2} +\frac{b}{4} + \frac{{z_1}^2+...+{z_n}^2}{4} $ e da qui si può comodamente concludere con la disuguaglianza tra le medie 2 e 3 su z.
Può andare?

Grazie per il post comunque :D

pak-man
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Messaggio da pak-man » 23 giu 2009, 17:14

Qui una volta c'era un dubbio idiota.
Ultima modifica di pak-man il 23 giu 2009, 19:06, modificato 1 volta in totale.

Jacobi
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Messaggio da Jacobi » 23 giu 2009, 17:35

pak-man ha scritto:Non mi convince questo passaggio:
Natalino ha scritto:$ \dfrac{a}{2}+\dfrac{y_1z_1+\ldots+y_nz_n}{2}\le\dfrac{a}{2}+\dfrac{y_1^2+z_1^2+\ldots+y_n^2+z_n^2}{4} $
GM-QM applicato ai $ y_i $, $ z_i $
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Natalino
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Messaggio da Natalino » 23 giu 2009, 17:37

Perché no? Ho usato la disuguaglianza tra le medie:

$ \sqrt{{y_1}{z_1}}\leq \sqrt{\frac{{y_1}^2+{z_1}^2}{2}} $

Quindi ho elevato al quadrato; dovrebbe andare, no?

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jordan
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Messaggio da jordan » 23 giu 2009, 17:41

Enrico Leon ha scritto:Molto facile dici...... :roll: Per curiosità, potresti postare un problema che per te è difficilissimo.....?
Se proprio insisti, questo è forse il più difficile che sono riuscito a risolvere..
Ultima modifica di jordan il 23 giu 2009, 18:08, modificato 2 volte in totale.
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FeddyStra
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Messaggio da FeddyStra » 23 giu 2009, 17:56

Non mi convince del tutto. Per esempio applichi GM-AM
Natalino ha scritto:$ \displaystyile \sqrt{{x_1}{y_1}{z_1}}+...+\sqrt{{x_n}{y_n}{z_n}}\leq \frac{{x_1}+{y_1}{z_1}}{2}+...+\frac{{x_n}+{y_n}{z_n}}{2}=\frac{a}{2}+\frac{{y_1}{z_1}+...+{y_n}{z_n}}{2} $ per AM-GM.
e poi in seguito altre medie. Il problema è che alla fine ti trovi con una disuguaglianza certamente vera, ma non hai verificato che le condizioni di uguaglianza possano essere effettivamente soddisfatte (per quella roportata per esempio sono $ x_i=y_iz_i\ \ \forall i $), ergo il massimo potrebbe essere più piccolo di quello che hai trovato.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]

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jordan
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Messaggio da jordan » 23 giu 2009, 18:20

@Natalino, essì sto perdendo colpi :roll: , la critica di Feddystra è corretta, e per di piu ho trovato un errore nella mia.. :o difatti io consideravo la disuguaglianza (*) $ 6x_i+3y_i^2+2z_i^3 \ge (x_iy_iz_i)^{\frac{6}{11}} $, poi le sommavo ciclicamente e concludevo con la disuguaglianza tra medie generalizzate con gli indici $ \frac{6}{11} $ e $ \frac{1}{2} $. Ma così nella (*) si presuppone uguaglianza sse $ x_i=y_i^2=z_i^3 $ e questo implicherebbe che il sistema originale si trasforma a termini noti costanti $ a=b=c $, che è solo un caso molto particolare del quesito originale.. Anche la dimostrazione di Natalino risolve infine solo un caso particolare infatti si dovrebbero avere $ z_i=y_i $ tutti uguali e costanti e $ x_i=y_i^2 $..

Bè il danno oramai l'ho fatto, cercherò di rimediare se possibile (sarà la maledizione del "molto facile" originale? :lol: )
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Messaggio da jordan » 23 giu 2009, 18:41

Ok, credo di aver trovato..(l'intento è infatti di provare che gli $ x_i $ sono costanti così come gli $ y_i $ e gli $ z_i $)

$ \displaystyle \sum{\sqrt{xyz}}=\sum{\sqrt{x}\sqrt{yz}} \le \sqrt{a\sum{yz}} $ $ \le \displaystyle \sqrt{a} \cdot \sqrt[4]{b\sum{z^2}} $ $ \le \sqrt[4]{a^2b} \cdot \sqrt[4]{c^{\frac{2}{3}}n^{\frac{1}{3}}} $ $ =(a^6b^3c^2n)^{\frac{1}{12} $
dove sono state utilizzate in ordine due cauchy-schwarz e una disuguaglianza tra medie generalizzate..

Ps. Adesso è giusta, ma la prossima volta sarò più attento :roll:
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Natalino
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Messaggio da Natalino » 23 giu 2009, 19:59

E' vero, avete ragione. Jordan complimenti per la soluzione :D .
Posso chiederti una cosa? sai, essendo nuovo del forum, non conosco i veterani come te. tu stai studiando matematica all'università? perché sarebbe preoccupante se fossi uno studente di liceo :D

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jordan
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Messaggio da jordan » 23 giu 2009, 20:09

No, non sono più del liceo, ma non studio nemmeno matematica :roll:
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Natalino
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Messaggio da Natalino » 23 giu 2009, 20:17

jordan ha scritto:ma non studio nemmeno matematica :roll:
Davvero?? beh, allora ti faccio tanti tanti complimenti :D

PubTusi
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Messaggio da PubTusi » 24 giu 2009, 13:00

Hölder!

$ \sum\sqrt{xyz}\leq a^{\frac12}\cdot(\sum y\sqrt{y})^{\frac13}\cdot c^{\frac16} $

con la disuguaglianza tra medie $ (\sum y\sqrt{y})^{\frac13}\leq b^{\frac14}\cdot n^{\frac1{12} $ e concludiamo!
EATO non è un'idea, è uno stile di vita

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