Radici in avvicinamento

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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FeddyStra
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Radici in avvicinamento

Messaggio da FeddyStra » 19 giu 2009, 17:37

Sia $ P_c(x) $ il polinomio $ P_c(x)=x^3-2cx^2-c^2 $ in cui $ c $ è una costante reale.

1)
Dimostrare che per $ c>0 $ il polinomio $ P_c(x) $ ha una sola radice reale.

2)
Sia $ p_c $ la radice reale di $ P_c(x) $ e $ \mu $ un numero reale positivo. Dimostrare che $ p_{c+\mu}-p_c>2\mu $.

3)
Dimostrare che $ \displaystyle \lim_{c\to\infty}(p_{c+\mu}-p_c)=2\mu $.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]

PubTusi
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Messaggio da PubTusi » 19 giu 2009, 21:42

Provo a dare un senso all'analisi fatta quest'anno a squola, senza l'intento di dare un minimo di eleganza alla dimostrazione

Le radici della derivata del polinomio sono 0 e $ \frac43c $
sostituendo vediamo che in entrambi i punti il polinomio è negativo, quindi c'è una sola radice. Per di più questa radice deve essere maggiore di $ \frac43c $

$ \displaystyle x_c^3-2cx_c^2-c^2=0 $
Risolviamo rispetto a c
$ \displaystyle c=x_c(\sqrt{x_c^2+x_c}-x_c)=\frac{x_{c}^2}{\sqrt{x_c^2+x_c}+x_c} $

$ \displaystyle \mu=\frac{x_{c+\mu}^2}{\sqrt{x_{c+\mu}^2+x_{c+\mu}}+x_{c+\mu}}-\frac{x_{c}^2}{\sqrt{x_c^2+x_c}+x_c}= $
$ \displaystyle =(x_{c+\mu}-x_c)f(c)+x_{c+\mu}(f(c+\mu)-f(c) $
dove $ \displaystyle f(x_c)=\frac{x_{c}}{\sqrt{x_c^2+x_c}+x_c} $.
Poichè la derivata di f è sempre positiva ed f è sempre minore di $ \frac12 $
$ \mu\leq (x_{c+\mu}-x_c)f(c)\leq \frac12(x_{c+\mu}-x_c) $
$ \displaystyle \lim_{c\to +\infty}2c-x_c=\lim_{x_c\to +\infty}\frac{2x_{c}^2-x_c\sqrt{x_c^2+x_c}-x_c^2}{\sqrt{x_c^2+x_c}+x_c}= $
$ \displaystyle =\lim_{x_c\to +\infty}x_c\frac{x_c-\sqrt{x_c^2+x_c}}{x_c+\sqrt{x_c^2+x_c}}=\lim_{x_c\to +\infty}x_c\frac{-x_c}{(x_c+\sqrt{x_c^2+x_c})^2}=-\frac14 $
$ \displaystyle \lim_{c\to +\infty}(2c-x_c)-\lim_{c\to +\infty}(2(c+\mu)-x_{c+\mu})=0 $
$ \displaystyle \lim_{c\to +\infty}2c-x_c-2(c+\mu)+x_{c+\mu}=\lim_{c\to +\infty}x_{c+\mu}-x_c-2\mu=0 $
$ \displaystyle \lim_{c\to +\infty}x_{c+\mu}-x_c=2\mu $
EATO non è un'idea, è uno stile di vita

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