Disuguaglianza dalle olimpiadi dell'anno.....?????

[spugna]

Dati tre numeri reali positivi $ a,b,c $ tali che $ abc=1 $, dimostrare che
$ \dfrac{1}{a^3(b+c)}+\dfrac{1}{b^3(a+c)}+\dfrac{1}{c^3(a+b)}\geq \dfrac{3}{2} $

[jordan]

Ma questo è un imo

[darkxifrit]

Disuguaglianza dalle olimpiadi dell'anno.....?????

1995

[exodd]

chiamiamo $ X $ quella disuguaglianza
$ 2X(ab+bc+ca)>=(1/a+1/b+1/c)^2 $ C.S.
$ (1/a+1/b+1/c)^2(1/{ab+bc+ca})>=3 $
$ ab+bc+ca>=3 $ che si dimostra con Mac Laurin, o qualsiasi altra cosa..

[Maioc92]

chiamiamo $ X $ quella disuguaglianza
$ 2X(ab+bc+ca)>=(1/a+1/b+1/c)^2 $ C.S.
$ (1/a+1/b+1/c)^2(1/{ab+bc+ca})>=3 $
$ ab+bc+ca>=3 $ che si dimostra con Mac Laurin, o qualsiasi altra cosa..

non ho capito bene il procedimento....potresti far vedere i passaggi per favore?

[pak-man]

Cauchy-Schwartz:
$ $\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\left(\sum_{cyc}\frac{1}{a\sqrt{a(b+c)}}\cdot\sqrt{a(b+c)}\right)^2\le\left(\sum_{cyc}\frac{1}{a^3(b+c)}\right)\left(\sum_{cyc}a(b+c)\right)=LHS\cdot2(ab+bc+ca) $
$ LHS\ge\dfrac{\displaystyle\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{2(ab+bc+ca)} $
Resta da dimostrare che
$ $\dfrac{\displaystyle\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{2(ab+bc+ca)}\ge\frac{3}{2} $
$ $\left(\frac{ab+bc+ca}{abc}\right)^2\ge3(ab+bc+ca) $
$ ~abc=1 $, dunque resta da dimostrare che
$ ab+bc+ca\ge3 $
che si può dimostrare in vari modi (medie, MacLaurin, ...)

[Maioc92]

grazie, ora è tutto chiaro!!!

[Jacobi]

una altra soluzione a questo problema e quella di ricondurlo alla disuguaglianza di nesbit: infatti sia la forma dell'LHS sia il fatto che c'e' un $ \geq \frac{3}{2} $ ti fanno pensare che la si puo ricondurre in qualche modo a nesbit!!
cio si fa capovolgendo le variabili e applicando poi chebycheff.

[darkxifrit]

Siano $ x=\frac{1}{a}, y=\frac{1}{b}, z=\frac{1}{c} $
Dalle condizioni abbiamo che $ abc= 1\implies xyz=1 $

$ \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}= \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y} $

Sia $ f(x)= x^{-1} $ con $ x>0 $, tale funzione è convessa e per Jensen:
$ \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}= x f(\frac{y+z}{x})+y f(\frac{z+x}{y})+z f(\frac{x+y}{z})\ge (x+y+z)f\left(\frac{2(x+y+z)}{x+y+z}\right)= \frac{x+y+z}{2} $
D'altro canto $ x+y+z\ge 3\sqrt[3]{xyz}= 3 $, questo per AM-GM

[spugna]

una altra soluzione a questo problema e quella di ricondurlo alla disuguaglianza di nesbit: infatti sia la forma dell'LHS sia il fatto che c'e' un $ \geq \frac{3}{2} $ ti fanno pensare che la si puo ricondurre in qualche modo a nesbit!!
cio si fa capovolgendo le variabili e applicando poi chebycheff.

Hai citato 2 disuguaglianze che non conosco e che non trovo su internet:le potresti postare?

[pak-man]

Nesbitt:
$ \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{3}{2} $

Chebycheff:
Posto
$ a_1\ge a_2\ge\ldots\ge a_n $
$ b_1\ge b_2\ge\ldots\ge b_n $
allora
$ \left(\displaystyle\sum_{i=0}^na_i\right)\left(\displaystyle\sum_{i=0}^nb_i\right)\le n\left(\displaystyle\sum_{i=0}^na_ib_i\right) $
e
$ \left(\displaystyle\sum_{i=0}^na_i\right)\left(\displaystyle\sum_{i=0}^nb_i\right)\ge n\left(\displaystyle\sum_{i=0}^na_ib_{n-i+1}\right) $

[spugna]

grazie...