Disuguaglianza

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spugna
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Disuguaglianza

Messaggio da spugna » 06 giu 2009, 23:24

Se è una disuguaglianza, per facile che sia (e non vergognatevi a postare problemi facili, ché i principianti ne hanno bisogno), va in algebra -- HarryPotter

Dimostrare che $ \sqrt{4a + 1} + \sqrt{4b + 1} + \sqrt{4c + 1} + \sqrt{4d + 1} < 6 $ con $ a + b + c + d = 1 $ e $ (a,b,c,d) \in \mathbb{R}_+^4 $.

In fin dei conti non è tanto difficile,perciò lasciatela ai meno esperti :wink:
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

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FeddyStra
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Messaggio da FeddyStra » 07 giu 2009, 00:19

$ 4\sqrt2<6 $
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]

spugna
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Messaggio da spugna » 07 giu 2009, 06:39

FeddyStra ha scritto:$ 4\sqrt2<6 $
ok ma se hai $ a \neq b \neq c \neq d $ come fai?
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

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sasha™
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Re: Disuguaglianza

Messaggio da sasha™ » 07 giu 2009, 09:00

Proviamo ad elevare al quadrato.

$ 4(a + b + c + d + 1) + 2\sqrt{(4a + 1)(4b + 1)} + 2\sqrt{(4a + 1)(4c + 1)} + 2\sqrt{(4a + 1)(4d + 1)} + 2\sqrt{(4b + 1)(4c + 1)} + 2\sqrt{(4b + 1)(4d + 1)} + 2\sqrt{(4c + 1)(4d + 1)} < 36 $

Ma $ 4(a + b + c + d + 1) = 4*2 = 8 $. Sposto al secondo membro e semplifico per 2.

$ \sqrt{(4a + 1)(4b + 1)} + \sqrt{(4a + 1)(4c + 1)} + \sqrt{(4a + 1)(4d + 1)} + \sqrt{(4b + 1)(4c + 1)} + \sqrt{(4b + 1)(4d + 1)} + \sqrt{(4c + 1)(4d + 1)} < 14 $

EDIT: Ho fatto una cazzata, ho dimenticato di elevare al quadrato anche il secondo membro :oops:

EDIT2: Risistemato l'errore, ma non mi esce U_U

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Fedecart
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Messaggio da Fedecart » 07 giu 2009, 11:33

Vediamo se mi riesce. Io vado di AM-QM

$ QM=\sqrt{\frac{(4a+1)+(4b+1)+(4c+1)+(4d+1)}{4}}=\sqrt{\frac{4(a+b+c+d)+4}{4}}=\sqrt{\frac{4+4}{4}}=\sqrt{2} $

Ora è ben noto che $ AM\leq QM $ Ma Am non è altro che la somma di radici al primo membro della disuguaglianza data, diviso 4. Chiamata tale somma S abbiamo che
$ S\leq 4QM $ ovvero $ S\leq 4\sqrt{2} $.
Essendo $ 6>4\sqrt{2} $ la disuguaglianza è verificata.

Ditemi se il ragionamento può andare! PS mi sono inventato il codice LaTex per minore o uguale, non so se funzionerà!

Jacobi
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Messaggio da Jacobi » 07 giu 2009, 14:17

una soluzione carina sarebbe usare $ (\frac{LHS}{4})^2 = M_{1/2} \leq M_{1} = AM = \frac{4a+1+ {4b+1}+ {4c+1}+ 4d+1}{4} = 2 $

da cui la tesi (le medie sono calcolate sul vettore $ (4a+1, 4b+1, 4c+1, 4d+1) $)
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Federiko
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Messaggio da Federiko » 07 giu 2009, 16:05

@Jacobi: usare $ AM\le QM $ sui $ \sqrt{4a+1} $ oppure $ M_{1/2}\le AM $ sui $ 4a+1 $ è la stessa cosa! :D
CUCCIOLO

Jacobi
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Messaggio da Jacobi » 07 giu 2009, 16:52

sisi, pero $ M_{1/2} $ e piu stiloso!!! :lol: :lol: :D
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GioacchinoA
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Messaggio da GioacchinoA » 07 giu 2009, 20:54

Potrebbe anche andare Cauchy-Schwarz sulle quadruple $ (1,1,1,1) $ e $ (\sqrt{4a+1},\sqrt{4b+1},\sqrt{4c+1},\sqrt{4d+1}) $
Infatti viene
$ \sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}+\sqrt{4d+1} \leq \sqrt{1+1+1+1}\sqrt{4(a+b+c+d)+4} = 4\sqrt{2} < 6 $
e Fine
Va bene penso.

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Fedecart
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Messaggio da Fedecart » 07 giu 2009, 20:58

Non l'ho capita... Con Cauchy non avevi i quadrati?

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FeddyStra
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Messaggio da FeddyStra » 07 giu 2009, 20:58

In ogni caso, come avevo fatto notare, il punto cruciale è proprio $ 4\sqrt2<6 $... :lol:
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]

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Messaggio da GioacchinoA » 07 giu 2009, 21:05

Fedecart ha scritto:Non l'ho capita... Con Cauchy non avevi i quadrati?
Cauchy-Schwarz è:
$ (a_1b_1 + ... + a_nb_n)^2 \leq (a_1^2+...+a_n^2)(b_1^2+...+b_n^2) $
Io ho usato $ 1/2 $ Cauchy. Infatti estraendo le radici viene
$ (a_1b_1 + .... a_nb_n) \leq \sqrt{a_1^2+...+a_n^2}\sqrt{b_1^2+...+b_n^2} $
Poi gli $ a_i $ sono tutti $ 1 $ , i $ b_i $ sono le radici della traccia e viene:
$ LHS \leq \sqrt{1+1+1+1}\sqrt{4a+1+4b+1+4c+1+4d+1} $
E poi si continua come sopra
FeddyStra ha scritto:In ogni caso, come avevo fatto notare, il punto cruciale è proprio $ 4\sqrt2<6 $... :lol:
Infatti, il suggerimento di FeddyStra è stato illuminante :lol:

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exodd
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Messaggio da exodd » 07 giu 2009, 23:46

bè, se notate con cauchy si dimostra QM-AM e con QM-AM si dimostra cauchy..
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
ispiratore del BTA

in geometry, angles are angels

"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"

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jordan
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Messaggio da jordan » 07 giu 2009, 23:56

La am-qm torna tra noi.. :lol:
The only goal of science is the honor of the human spirit.

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Messaggio da Anér » 08 giu 2009, 15:35

Oppure, senza usare un cannone come $ 4\sqrt{2}<6 $, si può risolvere così:
$ \sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}+\sqrt{4d+1}<\sqrt{4a^2+4a+1}+\sqrt{4b^2+4b+1}+\sqrt{4c^2+4c+1}+\sqrt{4d^2+4d+1}=2a+1+2b+1+2c+1+2d+1=6 $
Sono il cuoco della nazionale!

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