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(Se ricordo bene) dai giochi Enriques
Inviato: 31 mag 2009, 10:22
da spugna
Sposto in algebra... -- EG
Trovare tutte le funzioni $ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ tali che
$ \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 , f(x \cdot f(y)) = x + f(xy) $
L'unica che ho trovato è $ f:x \rightarrow x + 1 $ , ma la frase "trovare tutte le funzioni" mi dà il sospetto che ne esistano altre!
Voi cosa ne dite?
Inviato: 31 mag 2009, 11:51
da Maioc92
perchè è in matematica ricreativa?
Domanda: se $ f(f(y))=f(y)+1 $ per poter dire che $ f(x)=x+1 $ devo prima dimostrare che $ f $ è bigettiva?
Inviato: 31 mag 2009, 11:58
da Paolz
Non so se sia proprio matematica ricreativa... Comunque...
Innanzitutto, la funzione non può valere costantemente zero: se così fosse, la coppia $ (1, 0) $ smentirebbe le ipotesi.
Esiste dunque $ a $ tale che $ f(a)\ne 0 $. $ x $ varia su tutto $ \mathbb{R} $, dunque anche il secondo membro dell'uguaglianza di partenza: $ f $ è suriettiva.
Esaminando la coppia $ (1, y) $ ottengo: $ f(f(y))=1+f(y) $.
Per la suriettività di $ f $, pongo $ f(y)=z, z \in \mathbb{R} $, e ottengo $ f(z)=1+z $.
Inviato: 31 mag 2009, 12:46
da Maioc92
provo a postare la mia per allenarmi ma non sono sicuro sia giusta.
Comunque ecco:
Sostituiamo $ y=0 $ e otteniamo $ f(xf(0))=x+f(0) $. Ponendo $ f(0)=a $, abbiamo che $ f(ax)=x+a $, quindi $ f $ è bigettiva.
Sostituendo invece $ x=1 $ otteniamo $ f(f(y))=f(y)+1 $.
Poichè $ f $ è bigettiva $ f(y)=z $ con $ z\in\mathbb R $.
Pertanto sostituendo abbiamo che $ f(z)=z+1 $ che è l'unica soluzione.
Può andare o c'è qualcosa di sbagliato? Se c'è per favore ditelo perchè mi interessa capire dove ho sbagliato