(Se ricordo bene) dai giochi Enriques

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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spugna
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(Se ricordo bene) dai giochi Enriques

Messaggio da spugna » 31 mag 2009, 10:22

Sposto in algebra... -- EG

Trovare tutte le funzioni $ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ tali che
$ \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 , f(x \cdot f(y)) = x + f(xy) $

L'unica che ho trovato è $ f:x \rightarrow x + 1 $ , ma la frase "trovare tutte le funzioni" mi dà il sospetto che ne esistano altre!

Voi cosa ne dite?
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

Maledetti fisici! (cit.)

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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 31 mag 2009, 11:51

perchè è in matematica ricreativa?

Domanda: se $ f(f(y))=f(y)+1 $ per poter dire che $ f(x)=x+1 $ devo prima dimostrare che $ f $ è bigettiva?
Ultima modifica di Maioc92 il 31 mag 2009, 12:25, modificato 3 volte in totale.
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

Paolz
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Messaggio da Paolz » 31 mag 2009, 11:58

Non so se sia proprio matematica ricreativa... Comunque...

Innanzitutto, la funzione non può valere costantemente zero: se così fosse, la coppia $ (1, 0) $ smentirebbe le ipotesi.

Esiste dunque $ a $ tale che $ f(a)\ne 0 $. $ x $ varia su tutto $ \mathbb{R} $, dunque anche il secondo membro dell'uguaglianza di partenza: $ f $ è suriettiva.

Esaminando la coppia $ (1, y) $ ottengo: $ f(f(y))=1+f(y) $.

Per la suriettività di $ f $, pongo $ f(y)=z, z \in \mathbb{R} $, e ottengo $ f(z)=1+z $.

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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 31 mag 2009, 12:46

provo a postare la mia per allenarmi ma non sono sicuro sia giusta.
Comunque ecco:
Sostituiamo $ y=0 $ e otteniamo $ f(xf(0))=x+f(0) $. Ponendo $ f(0)=a $, abbiamo che $ f(ax)=x+a $, quindi $ f $ è bigettiva.
Sostituendo invece $ x=1 $ otteniamo $ f(f(y))=f(y)+1 $.
Poichè $ f $ è bigettiva $ f(y)=z $ con $ z\in\mathbb R $.
Pertanto sostituendo abbiamo che $ f(z)=z+1 $ che è l'unica soluzione.

Può andare o c'è qualcosa di sbagliato? Se c'è per favore ditelo perchè mi interessa capire dove ho sbagliato
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

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