Sia p(x) un polinomio di grado n a coefficienti positivi.
Si dimostri che se $ p(1/x)\ge 1/p(x) $ vale per x=1 allora vale per ogni x>0.
Polinomi e disuguaglianze (facile)
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darkxifrit
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Polinomi e disuguaglianze (facile)
La matematica è una forma d'arte!
Ci provo...
Sia $ p(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i;\ a_i\in \mathbb{R}^+, x\in \mathbb{R}^+ \Rightarrow p(x)\in \mathbb{R}^+. $
L'ipotesi diventa $ [p(1)]^2=(\sum_{i=0}^{n}a_i)^2\geq 1. $
Allora $ p(1/x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^{-i}=\frac{\sum_{i=0}^{n}a_ix^{n-i}}{x^n}\geq 1/p(x)=\frac{1}{\sum_{i=0}^{n}a_ix^i} \Leftrightarrow $
$ \Leftrightarrow (\sum_{i=0}^{n}a_ix^i)(\sum_{i=0}^{n}a_ix^{n-i})\geq x^n. $
Ma nell'ultima per Cauchy-Schwarz: $ LHS\geq(\sum_{i=0}^{n}a_i\sqrt{x^n})^2=(\sqrt{x^n}\sum_{i=0}^{n}a_i)^2=(\sum_{i=0}^{n}a_i)^2x^n\geq x^n $ per l'ipotesi.
Sia $ p(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i;\ a_i\in \mathbb{R}^+, x\in \mathbb{R}^+ \Rightarrow p(x)\in \mathbb{R}^+. $
L'ipotesi diventa $ [p(1)]^2=(\sum_{i=0}^{n}a_i)^2\geq 1. $
Allora $ p(1/x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^{-i}=\frac{\sum_{i=0}^{n}a_ix^{n-i}}{x^n}\geq 1/p(x)=\frac{1}{\sum_{i=0}^{n}a_ix^i} \Leftrightarrow $
$ \Leftrightarrow (\sum_{i=0}^{n}a_ix^i)(\sum_{i=0}^{n}a_ix^{n-i})\geq x^n. $
Ma nell'ultima per Cauchy-Schwarz: $ LHS\geq(\sum_{i=0}^{n}a_i\sqrt{x^n})^2=(\sqrt{x^n}\sum_{i=0}^{n}a_i)^2=(\sum_{i=0}^{n}a_i)^2x^n\geq x^n $ per l'ipotesi.