radice del polinomio

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
Rispondi
Avatar utente
Maioc92
Messaggi: 778
Iscritto il: 21 apr 2009, 21:07
Località: REGGIO EMILIA

radice del polinomio

Messaggio da Maioc92 » 12 mag 2009, 22:00

questo è un problema che mi sta facendo impazzire, quindi lo posto:
dato il polinomio x^3+ax-a^3-29 con a positivo, trovare l'unica radice reale positiva al variare di a
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

Luthorien
Messaggi: 18
Iscritto il: 20 mar 2009, 19:36
Località: Reggio Emilia

Messaggio da Luthorien » 16 mag 2009, 17:19

Se può essere d'aiuto....
Se a=1, allora x=3 è soluzione..
The enchanting charms of this sublime science reveal themselves in all their beauty only to those who have the courage to go deeply into it.
(Carl Friedrich Gauss)

Thebear
Messaggi: 311
Iscritto il: 13 feb 2008, 16:23
Località: Torino

Messaggio da Thebear » 16 mag 2009, 18:11

Comincio, ma mi areno in fretta... :oops:

Dette $ x_1, x_2, x_3 $ le tre soluzioni in C, si ha:
$ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = a^3+29 $
$ x_1+x_2+x_3=0 $
$ x_1 \cdot x_2+x_1 \cdot x_3+x_2 \cdot x_3 = a $

Queste relazioni si possono trovare scomponendo il polinomio in $ (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) $.
Per ottenere una somma delle radici pari a zero, le due soluzioni complesse dovranno essere coniugate, mentre le parti reali sommate alla radice reale devono dare zero. Quindi se t è la parte reale di $ x_1 $ e $ x_2 $ si avrà: $ 2t+x_3=0 $ (qui ho supposto, wlog, che la radice reale sia x_3).

Per quanto riguarda il prodotto, se u è il coefficiente dell'unità immaginaria i, si ha: $ a_1 \cdot a_2 \cdot a_3=(t+iu)(t-iu)(x_3)=(t^2+u^2)x_3 $.

A questo punto ricordando che $ t^2+u^2={x_3}^2 $ (rappresentazione sul Piano di Gauss: le tre soluzioni devono avere uguale modulo, essendo le loro distanze dall'origine raggi di una stessa circonferenza), ottengo $ {x_3}^3= x_1 x_2 x_3 $, cioè $ x_3=rad. cubica(a^3+29) $ ma qua mi sa che c'è qualcosa che non va... Chi mi trova l'errore?
Edoardo

Avatar utente
exodd
Messaggi: 728
Iscritto il: 09 mar 2007, 19:46
Località: sulle pendici della provincia più alta d'europa

Messaggio da exodd » 16 mag 2009, 19:13

Thebear ha scritto:x_3=rad. cubica(a^3+29)
Luthorien ha scritto:Se a=1, allora x=3 è soluzione
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
ispiratore del BTA

in geometry, angles are angels

"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"

Avatar utente
SkZ
Messaggi: 3333
Iscritto il: 03 ago 2006, 21:02
Località: Concepcion, Chile
Contatta:

Messaggio da SkZ » 16 mag 2009, 21:32

Thebear ha scritto:[...]
A questo punto ricordando che $ t^2+u^2={x_3}^2 $ (rappresentazione sul Piano di Gauss: le tre soluzioni devono avere uguale modulo, essendo le loro distanze dall'origine raggi di una stessa circonferenza), ottengo $ {x_3}^3= x_1 x_2 x_3 $, cioè $ x_3=rad. cubica(a^3+29) $ ma qua mi sa che c'è qualcosa che non va... Chi mi trova l'errore?
Sicuro che siano equidistanti dall'origine?
se $ ~x_3=-2\Re{(x_1)} $ allora $ ~\Im{(x_1)}=\sqrt{3}\Re{(x_1)} $
ma $ ~(\Im{(x_1)})^2-{3}(\Re{(x_1)})^2=a=0 $
infatti $ ~x^3=a^3+29 $ solo se $ ~a=0 $, ma non e' possibile

alcune ovvie restrizioni alla sol (per controllo)
$ ~x^3+ax-a^3-29=(x^3-a^3)+(ax-29)=(x^3-29)+a(x-a^2)=0 $
sol sono
$ ~x=a=\sqrt{29} $
$ ~x=a^2=\sqrt[3]{29} $ (NdR: radice n-esima \sqrt[n]{} )

Cmq l'idea ala base da usare e' quella per risolvere un'equazione di terzo grado appunto
http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_ ... risolutivo
$ $x=\xi-\frac{a}{3\xi} $
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php

Thebear
Messaggi: 311
Iscritto il: 13 feb 2008, 16:23
Località: Torino

Messaggio da Thebear » 17 mag 2009, 11:21

SkZ ha scritto:
Thebear ha scritto:[...]
Cmq l'idea ala base da usare e' quella per risolvere un'equazione di terzo grado appunto
http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_ ... risolutivo
$ $x=\xi-\frac{a}{3\xi} $
Mi vergogno per le eresie che ho scritto, tuttavia speravo si potesse fare a meno di usare Cardano... :oops: :oops:
Edoardo

Avatar utente
Maioc92
Messaggi: 778
Iscritto il: 21 apr 2009, 21:07
Località: REGGIO EMILIA

Messaggio da Maioc92 » 17 mag 2009, 12:23

Thebear ha scritto: speravo si potesse fare a meno di usare Cardano... :oops: :oops:
a dire il vero anch'io.....sapevo che esisteva un metodo per risolvere le equazioni di 3 grado ma credevo si potesse risolvere anche in altro modo. Vabbè a quanto pare non si può ma almeno mi sono tolto il dubbio!!!!!
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

Avatar utente
SkZ
Messaggi: 3333
Iscritto il: 03 ago 2006, 21:02
Località: Concepcion, Chile
Contatta:

Messaggio da SkZ » 17 mag 2009, 20:10

piu' semplice di cardano penso sia difficile :wink:
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php

Rispondi