f(f^2(m)+2f^2(n))=m^2+2n^2 (bmo.2009.4)

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
Rispondi
Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

f(f^2(m)+2f^2(n))=m^2+2n^2 (bmo.2009.4)

Messaggio da jordan » 30 apr 2009, 20:56

Sia $ S $ l'insieme di tutti gli interi positivi.

Trovare tutte le funzioni $ f:S \to S $ tali che $ f((f(m))^2+2(f(n))^2)=m^2+2n^2 $ per ogni $ m,n \in S $.



(Bastardissimo..!)
The only goal of science is the honor of the human spirit.

drago90
Messaggi: 53
Iscritto il: 02 gen 2009, 16:06
Località: siena

Messaggio da drago90 » 03 mag 2009, 16:56

secondo voi la banalissima risposta y=x è eccessivamente scontata???io ,per quanto mi ci sia sforzato, non ho trovato nient' altro... :? :?

pak-man
Messaggi: 313
Iscritto il: 07 giu 2008, 18:19

Messaggio da pak-man » 03 mag 2009, 19:20

drago90 ha scritto:secondo voi la banalissima risposta y=x è eccessivamente scontata???io ,per quanto mi ci sia sforzato, non ho trovato nient' altro... :? :?
$ f(x)=x $ è soluzione, ma devi dimostrare se è o meno l'unica :wink:

drago90
Messaggi: 53
Iscritto il: 02 gen 2009, 16:06
Località: siena

Messaggio da drago90 » 03 mag 2009, 20:16

il che è stato tralasciato :twisted: :twisted: ...la speranza è che qualche punticino me lo diano comunque... :roll:

Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Messaggio da jordan » 03 mag 2009, 20:19

Non credo proprio.

E non vorrei azzardare ma i molti 1 che si vedono in classifica si riferiscono a chi ha mostrato che $ f(\cdot) $ è iniettiva.

Edit: @julio: non dirlo a me che ci ho perso piu di 3 ore e mezza non provando manco il 2 e il 3. E comunque 1/10 per mostrare che è iniettiva mi sembra più che adeguato.
Ultima modifica di jordan il 03 mag 2009, 20:25, modificato 1 volta in totale.
The only goal of science is the honor of the human spirit.

Avatar utente
julio14
Messaggi: 1206
Iscritto il: 11 dic 2006, 18:52
Località: Pisa

Messaggio da julio14 » 03 mag 2009, 20:22

che anche quello non è che ci volesse una scienza a trovarlo... è troppo infame questo esercizio
"L'unica soluzione è (0;0;0)" "E chi te lo dice?" "Nessuno, ma chi se ne fotte"
[quote="Tibor Gallai"]Alla fine, anche le donne sono macchine di Turing, solo un po' meno deterministiche di noi.[/quote]
Non sono un uomo Joule!!!

drago90
Messaggi: 53
Iscritto il: 02 gen 2009, 16:06
Località: siena

Messaggio da drago90 » 03 mag 2009, 20:24

ma c'è qualcuno che potrebbe postare la soluzione oppure che sappia dove si possono trovare per farsi un idea di massima???

Avatar utente
SkZ
Messaggi: 3333
Iscritto il: 03 ago 2006, 21:02
Località: Concepcion, Chile
Contatta:

Messaggio da SkZ » 03 mag 2009, 20:44

il vecchio trucco della separazione di variabili non bastava?
$ ~f(f(m))^2-m^2=-2\lambda $
$ ~2f(n)^2-2n^2=2\lambda $
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php

Avatar utente
karl
Messaggi: 926
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da karl » 03 mag 2009, 21:15

Se interpreto bene la traccia non credo che si possano separare le variabili.
Infatti,per come è scritto, l'argomento della f a primo membro è tutto
$ \displaystyle (f(m))^2+2(f(n))^2 $

Avatar utente
SkZ
Messaggi: 3333
Iscritto il: 03 ago 2006, 21:02
Località: Concepcion, Chile
Contatta:

Messaggio da SkZ » 03 mag 2009, 23:10

infatti, contato male le parentesi (ecco perche' non capivo quella parentesi in piu')
$ ~f[f(m)^2+2f(n)^2]=m^2+2n^2 $
era un po' troppo banale altrimenti :wink:
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php

Simo_the_wolf
Moderatore
Messaggi: 1022
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pescara

Messaggio da Simo_the_wolf » 04 mag 2009, 01:50

Io butto là un po' di idee...

1) La nostra funzionaccia è iniettiva infatti se $ f(a)=f(b) $ avrei che, sostituendo prima m=n=a e poi m=n=b
$ \displaystyle 3a^2 = f( 3f(a)^2 ) =f (3 f(b)^2) = 3b^2 $
da cui $ a=b $ poichè sono interi positivi

2) $ x^2+2y^2 = x'^2+2y'^2 \Longleftrightarrow f(x)^2+2f(y)^2 = f(x')^2 + 2f(y')^2 $
Questo è vero per l'iniettività e per il testo.
L'idea ora è sfruttare l'dentità $ (n-1)^2 + 2(n+2)^2 = (n+3)^2 + 2(n)^2 $
da cui $ f(n+3)^2=2f(n+2)^2+f(n-1)^2-2f(n)^2 $. Quindi ho una relazione di ricorrenza da 4 termini precedenti. (Identity by mamino)


3) 2 vie possibili ora: trovare $ f(1), f(2), f(3), f(4) $ oppure scriversi il termine n-esimo generico della ricorrenza (che tanto ha radici 1,1,1,-1) e provare a buttarle nel testo. Io ero riuscito a battere un po' la prima via in questo modo: ripartendo dal se e solo se della 2 dico:
$ x^2-x'^2 = 2y'^2-2y^2 \Longleftrightarrow f(x)^2-f(x')^2 = 2f(y')^2 - 2f(y)^2 $
Con un po' di fatica riesco a dire la simile ma più simmetrica
$ x^2-x'^2 = y^2-y'^2 \Longrightarrow f(x)^2-f(x')^2 = f(y)^2 - f(y')^2 $
fondamentalmente mettendoci un termine in mezzo del tipo $ 2z'^2-2z^2 $. Ora questo mi dice che se rappresento $ f(x)^2-f(x')^2 $ in pochi modi come differenza di quadrati (in sostanza il numero di divisori) allora anche $ x^2-x'^2 $ sarà rappresentabile in pochi modi come differenza di quadrati (essenzialmente per l'iniettività).
Ora uso il fatto che $ f(3f(1)^2)^2- f(3f(2)^2)^2=3^2-6^2 $ è rappresentabile in pochi modi come differenza di quadrati per dedurre informazioni su $ f(1), f(2) $. Usando altre relazioni alla fine riesco a dire che $ f(1)=1 $ e $ f(2)=2 $ quindi $ f(3)=3 $ e $ f(12)=12 $ da cui, per la ricorrenza di prima $ f(n)=n $, che ovviamente funziona.

Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Messaggio da jordan » 04 mag 2009, 02:44

Simo_the_wolf ha scritto: Con un po' di fatica riesco a dire la simile ma più simmetrica
$ x^2-x'^2 = y^2-y'^2 \Longrightarrow f(x)^2-f(x')^2 = f(y)^2 - f(y')^2 $
Addirittura diversa dalle altre due qui, compliments :o

Simo_the_wolf ha scritto:L'idea ora è sfruttare l'dentità $ (n-1)^2 + 2(n+2)^2 = (n+3)^2 + 2(n)^2 $
(Identity by mamino)
Io ne avevo trovate altre, ma non sono riuscito a trovare una strada per concludere
$ (7n)^2+2(2n)^2= (5n)^2+2(4n)^2 $
$ (13n)^2+2n^2=(11n)^2+2(5n)^2 $..
The only goal of science is the honor of the human spirit.

marcuz
Messaggi: 70
Iscritto il: 26 feb 2007, 21:54
Località: Pisa
Contatta:

Messaggio da marcuz » 04 mag 2009, 14:47

Io ho scritto solo che la funzione identica va bene e poi un mucchio di cavolate per tentare di convincermi che è l'unica. Uffa, speravo di essermi guadagnato il mio rispettabilissimo 1/40 :(
Nessun uomo è un'isola (J. Donne)

Rispondi