sum(1/1+a^4)=1 allora abcd>=3

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jordan
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sum(1/1+a^4)=1 allora abcd>=3

Messaggio da jordan » 22 apr 2009, 15:12

Siano dati $ \{a_i\}_{1 \le i \le 4} $ reali positivi tali che $ \displaystyle \sum_{i=1}^4{\frac{1}{1+a_i^4}}=1 $. Mostrare che $ \displaystyle \prod_{i=1}^4{a_i} \ge 3 $.
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pak-man
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Messaggio da pak-man » 22 apr 2009, 16:58

Poniamo $ a_i^2=\tan{\varphi_i} $, con $ $0<\varphi_i<\frac{\pi}{2} $.
Allora l'ipotesi $ $\sum_{i=1}^4\frac{1}{1+a_i^4}=1 $ diventa $ $\sum_{i=1}^4\cos^2\varphi_i=1 $ e la tesi $ $\prod_{i=1}^4a_i\ge3 $ diventa $ $\prod_{i=1}^4\tan\varphi_i\ge9 $
Sostituendo le tangenti in modo da ottenere solo coseni diventa
$ $\prod_{1=1}^4\left(1-\cos^2\varphi_i\right)\ge81\prod_{i=1}^4\cos^2\varphi_i $
Ma l'ipotesi (quanto ci ho messo a capirlo :x ) permette di sostituire
$ 1-\cos^2\varphi_1=\cos^2\varphi_2+\cos^2\varphi_3+\cos^2\varphi_4 $
e così ciclicamente per gli altri 3 fattori.
Dunque si ottiene
$ $\prod_{cyc}\left(\cos^2\varphi_1+\cos^2\varphi_2+\cos^2\varphi_3\right)\ge81\prod_{i=1}^4\cos^2\varphi_i $
Per la AM-GM, per,
$ $\frac{\cos^2\varphi_1+\cos^2\varphi_2+\cos^2\varphi_3}{3}\ge\sqrt[3]{\cos^2\varphi_1\cos^2\varphi_2\cos^2\varphi_3} $
e così ciclicamente per le altre 3 possibili terne di indici.
Moltiplicando tra loro le 4 AM-GM si ottiene la tesi.

Bel problema :wink:
Ultima modifica di pak-man il 22 apr 2009, 17:46, modificato 1 volta in totale.

piever
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Messaggio da piever » 22 apr 2009, 17:10

Uhm, sostituire coseni e tangenti è estremamente scenografico, ma penso che funziona lo stesso ponendo $ \displaystyle\frac{1}{1+a_i ^4}=t_i $ ...
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pak-man
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Messaggio da pak-man » 22 apr 2009, 17:52

piever ha scritto:Uhm, sostituire coseni e tangenti è estremamente scenografico
Sono d'accordo, infatti adoro questo tipo di sostituzioni (sebbene non le noti spesso :lol: )
piever ha scritto:ma penso che funziona lo stesso ponendo $ \displaystyle\frac{1}{1+a_i ^4}=t_i $ ...
Sì funziona allo stesso modo:
Poniamo $ $\frac{1}{1+a_i^4}=t_i $, allora l'ipotesi è $ t_1+t_2+t_3+t_4=1 $ e la tesi è $ $\prod_{i=1}^4\sqrt[4]{\frac{1-t_i}{t_i}}\ge3 $
$ $\prod_{cyc}\left(t_1+t_2+t_3\right)\ge81t_1t_2t_3t_4 $
E si conclude per AM-GM come prima.

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jordan
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Messaggio da jordan » 23 apr 2009, 02:55

Molto bene a entrambi :)
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