chi trova le radici?

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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jordan
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chi trova le radici?

Messaggio da jordan » 16 apr 2009, 18:34

Own. Trovare tutte le radici reali di $ p(x)=2x^5-10x^3+10x-1 $
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Enrico Leon
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Messaggio da Enrico Leon » 16 apr 2009, 18:47

Sono tutte e 5 reali, ma... Boh!

Kopernik
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Messaggio da Kopernik » 18 apr 2009, 21:27

Scusa Jordan, ma esiste unmodo di trovare le 5 soluzioni che non siano i deprecabili metodi numerici? E se c'è, ce lo racconteresti?
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]

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jordan
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Messaggio da jordan » 18 apr 2009, 21:37

Certo che c'è, che lo postavo a fare sennò..

comunque su Yahoo Answer me l'hanno bruciato in mezz'ora, il tempo di leggerla e scrivere la soluzione :shock:

[Nel caso non risponde nessuno tra qualche giorno metto il link alla soluzione (nel caso ricordamelo!).. :wink: ]
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gismondo
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Messaggio da gismondo » 18 apr 2009, 22:27

allora...avendo per sbaglio letto qualcosa sui polinomi di chebyshev del primo tipo provo a scrivere qualcosa...
Riscrivo:
$ 2x^5-10x^3+10x=1 $
Ora si da il caso che $ T_5(x)=16x^5-20x^3+5x $
Ora a grado 5 il rapporto è 8, a grado 3 è 2 e grado 1 è 1/2...
Si nota che $ 2^{5-2}= 8 , 2^{3-2}=2 , 2^{1-2} = 1/2 $
Per x=2y diventa : $ 64y^5-80y^3+20y=1 $
Dividendo per 4 si ottiene inaspettatamente $ 16y^5-20y^3+5y=1/4 $
Quindi, stando che $ sen(nx)=(-1)^{(n-1)/2}T_n(senx) $ per n dispari, prendiamo y=sin(z) da cui $ sen(5z)=1 $
Dovrebbe essere $ z= 1/5arcsen(1/4+2/5k\pi) $
che ci porta a $ x=sen(1/5arcsen(1/4+2/5k\pi) $ con k in {0,1,2,3,4}
Spero di esserci andato vicino...
Ultima modifica di gismondo il 19 apr 2009, 11:35, modificato 3 volte in totale.
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jordan
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Messaggio da jordan » 18 apr 2009, 22:32

gismondo ha scritto:Dividendo per 1/4 si ottiene inaspettatamente $ 16x^5-20x^3+5x=1/4 $
Perfetto!

ps. non ti serviva nominare quei polinomi, bastava notare che aveva gli stessi coefficienti di sen(5x) :wink:
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