razionalizzare il denominatore

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federiko97
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razionalizzare il denominatore

Messaggio da federiko97 » 21 mar 2009, 13:14

Ciao ragazzi!

Oggi a scuola ho visto che quando al denominatore c'è $ \sqrt{x} $ oppure che so $ \sqrt{x}+\sqrt{y} $ si può sempre razionalizzare (basta moltiplicare sopra e sotto per $ \sqrt{x} $ nel primo caso o $ \sqrt{x}-\sqrt{y} $ nel secondo).

Pensandoci bene a casa mi sono reso conto che qualsiasi scrittura di quel tipo (cioè con un po' di lettere, somme, sottrazioni, prodotti e radici - non necessariamente quadrate, anche terze, quarte o di più - anche i radicali doppi vanno bene) è sempre razionalizzabile...

Provate a dimostrarlo...

PubTusi
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Messaggio da PubTusi » 23 mar 2009, 12:21

Ciao federiko97! (ma se 97 è il tuo anno di nascita non è troppo presto per frequentare questi brutti posti? :P)

Riguardo il problema, all'inizio mi sembrava banalotto ma non lo è affatto, quindi sei proprio sicuro di ciò che affermi?

anche perchè col tempo mi sono convinto, e forse sono riuscito anche dimostrato, che ad esempio $ $ \frac {1}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}$ $ non sia razionalizzabile.
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fph
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Messaggio da fph » 23 mar 2009, 12:42

Potreste avere ragione tutti e due, mettetevi prima d'accordo su cosa vuol dire "razionalizzare"...
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

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Febo
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Messaggio da Febo » 23 mar 2009, 17:23

Uhm, una definizione possibile di razionalizzare è questa:

diciamo che un quasipolinomio è un polinomio in cui gli esponenti delle variabili invece che interi nonnegativi sono razionali nonnegativi

un quasipolinomio $ q $ a coefficienti in $ \mathbb{C} $ (ma potremmo anche fare questo giochetto in $ \mathbb{R} $ o in $ \mathbb{Q} $ se non mi sbaglio) è razionalizzabile se esiste un altro quasipolinomio $ r $ tale che $ q\cdot r $ è un polinomio.

Ad esempio $ q(x,y)=\sqrt{x}+\sqrt{y} $ è razionalizzabile in quanto, posto $ r(x,y)=\sqrt{x}-\sqrt{y} $, sia ha che $ q(x,y)\cdot r(x,y)=x-y $ che è un polinomio.

Ora la tesi diventa: ogni quasipolinomio è razionalizzabile.

PubTusi ha scritto:anche perchè col tempo mi sono convinto, e forse sono riuscito anche dimostrato, che ad esempio $ $ \frac {1}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}$ $ non sia razionalizzabile.
Davvero? Come lo hai dimostrato?
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Jacobi
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Messaggio da Jacobi » 23 mar 2009, 17:53

nn direi..: qndo si parla di razionalizzare si parla di una frazione con una roba che contiene radici al denominatore, di cui si vuole trovare una frazione equivalente ke nn abbia qste radici al denominatore. Seguendo la tua definizione di quasipolinomio, la definizione dovrebbe essere la seguente: si dice che un rapporto fra due quasipolinomi e razionalizzabile, se e equivalente al rapporto fra un quasi polinomio e un polinomio.
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SkZ
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Messaggio da SkZ » 23 mar 2009, 19:03

come l'ha esposto Febo e' piu' generale, ma equivalente alle richieste.

messa in sistetico
definito $ ~\mathcal{Q}_n $ l'insieme dei quasi-polinomi $ ~\mathbb{C}^n\mapsto \mathbb{C} $ e $ ~\mathcal{P}_n $ l'insieme dei polinomi $ ~\mathbb{C}^n\mapsto \mathbb{C} $
$ ~\forall q\in\mathcal{Q}_n\;\exists r \in \mathcal{Q}_n : q\cdot r\in \mathcal{P}_n $
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

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FrancescoVeneziano
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Messaggio da FrancescoVeneziano » 23 mar 2009, 19:21

Pubtusi, ti sei convinto di una cosa falsa.
Chiamiamo $ \zeta $ una radice terza primitiva dell'unità e sia
$ A=\displaystyle\prod_{i,j,k=0}^2 \zeta^i \sqrt[3]{x}+\zeta^j \sqrt[3]{y}+\zeta^k \sqrt[3]{z} $
si può dimostrare, usando un po' di teoria di Galois oppure svolgendo il prodotto di quei 27 trinomi e ricordando che $ \zeta^2+\zeta+1=0 $, che A è un polinomio in x,y,z a coefficienti razionali e da questo si ricava un'espressione "razionalizzata" di $ \frac{1}{ \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}} $.
Wir müssen wissen. Wir werden wissen.

PubTusi
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Messaggio da PubTusi » 23 mar 2009, 19:46

Eh si, avevo trovato l'errore che ho fatto e stavo per scriverlo sul forum.
Anche i migliori sbagliano :oops:

Purtroppo non so cosa sia la teoria di Galois, ne come si faccia il prodotto di 27 trinomi.
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Spider
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Messaggio da Spider » 23 mar 2009, 20:21

Senza i cannoni di FrancescoVeneziano ;), nel caso particolare (se non ho sbagliato tutto :D) si può razionalizzare con un trucchetto. Hint:
Usare l'identità a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - ac - bc)

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Febo
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Messaggio da Febo » 24 mar 2009, 10:48

Uhm, le cose si fanno sempre più interessanti....

L'idea di usare le radici dell'unità sembra interessante... Credo si riesca a concludere, usando l'idea di FrancescoVeneziano, in maniera completamente elementare.

Qualcuno che si cimenta?

Hint: considerate \displaystyle q(x_1,\dots ,x_n)=\prod_{a_1\dots ,a_n =0}^{k-1} q(x_1\zeta ^{a_1},\dots ,x_n\zeta ^{a_n}) dove \zeta è una radice primitiva k-esima e k è il minimo comune denominatore degli esponenti del quasipolinomio q
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federiko97
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Messaggio da federiko97 » 24 mar 2009, 17:27

PubTusi ha scritto:Ciao federiko97! (ma se 97 è il tuo anno di nascita non è troppo presto per frequentare questi brutti posti? :P)

Riguardo il problema, all'inizio mi sembrava banalotto ma non lo è affatto, quindi sei proprio sicuro di ciò che affermi?

anche perchè col tempo mi sono convinto, e forse sono riuscito anche dimostrato, che ad esempio $ $ \frac {1}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}$ $ non sia razionalizzabile.
Veramente sono del 92, ma Federiko92 era già occupato :cry: In più 97 è un numero primo :lol:
Comunque guarda, sono sicuro che anche $ $ \frac {1}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}$ $ sia razionalizzabile. E in ogni caso no, il problema non è banalotto, anzi...

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Federiko
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Messaggio da Federiko » 24 mar 2009, 18:29

memberlist.php?mode=username&order=ASC&start=3000
Federiko92 è libero..
EDIT: maledetto spiglerg!! L'hai creato adesso!
Ultima modifica di Federiko il 24 mar 2009, 19:57, modificato 1 volta in totale.
CUCCIOLO

spiglerg
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Messaggio da spiglerg » 24 mar 2009, 18:44

Guarda che e' registrato..

Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 24 mar 2009, 18:49

Suggerisco "Federinko92". No, scherzo. :roll:

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federiko97
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Messaggio da federiko97 » 24 mar 2009, 21:31

Uhm, ma concentrarsi sul problema, piuttosto?

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