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Trovare il valore di $ $\sqrt[4]{\Big(\frac{7-3\sqrt5}{2}\Big)}+\sqrt[4]{\Big(\frac{7+3\sqrt5}{2}\Big)}$ $

$ \sqrt[4]{\frac14(3-\sqrt5)^2}+\sqrt[4]{\frac14(3+\sqrt5)^2}=\\ \sqrt{\frac14(1-\sqrt5)^2}+\sqrt{\frac14(1+\sqrt5)^2}=\\ \frac{\sqrt5-1}2+\frac{1+\sqrt5}2=\sqrt5 $
edit: ... scritto una cavolata ($ \sqrt5<1 $? O_O)

Veluca ha scritto:$ \sqrt[4]{\frac14(3-\sqrt5)^2}+\sqrt[4]{\frac14(3+\sqrt5)^2}=\\ \sqrt{\frac14(1-\sqrt5)^2}+\sqrt{\frac14(1+\sqrt5)^2}=\\ \frac{1-\sqrt5}2+\frac{1+\sqrt5}2=1 $

Non mi tornano i passaggi... A me viene $ \sqrt{5} $

attento che $ ~1-\sqrt{5}<0 $

o anche $ \displaystyle~\sqrt[4]{\Big(\frac{7-3\sqrt5}{2}\Big)}=\frac{1}{\sqrt[4]{\Big(\frac{7+3\sqrt5}{2}\Big)}} $
da cui, essendo $ \displaystyle~\sqrt[4]{\Big(\frac{7+3\sqrt5}{2}\Big)}=\varphi $ :
$ \displaystyle~\sqrt[4]{\Big(\frac{7-3\sqrt5}{2}\Big)}+\sqrt[4]{\Big(\frac{7+3\sqrt5}{2}\Big)}= $$ \displaystyle~\frac{1}{\varphi}+\varphi=2\varphi-1=\sqrt{5}+1-1=\sqrt{5} $

EDIT: corretto il segno

ti sei perso qualcosa per strada
la prima equazione dice che
$ \displaystyle~\sqrt[4]{\Big(\frac{7+3\sqrt5}{2}\Big)}=1 $

Veluca ha scritto:$ \sqrt[4]{\frac14(3-\sqrt5)^2}+\sqrt[4]{\frac14(3+\sqrt5)^2}=\\ \sqrt{\frac14(1-\sqrt5)^2}+\sqrt{\frac14(1+\sqrt5)^2}=\\ \frac{\sqrt5-1}2+\frac{1+\sqrt5}2=\sqrt5 $
edit: ... scritto una cavolata ($ \sqrt5<1 $? O_O)

Mmmm, non riesco a capire i primi due passaggi... Qualcuno può spiegarmeli?

Come non detto, ho capito adesso...

kn ha scritto: ... $ \displaystyle~\frac{1}{\varphi}+\varphi=2\varphi-1= $...

EDIT: corretto il segno

Come si passa da lì a lì?

e' una proprieta' della sezione aurea ($ ~\frac1\varphi=\varphi+1 $).
peccato che non abbia ben mostrato che e' proprio la sezione aurea

SkZ ha scritto:e' una proprieta' della sezione aurea ($ ~\frac1\varphi=\varphi+1 $).
peccato che non abbia ben mostrato che e' proprio la sezione aurea

Ma allora non dovrebbe essere $ 2\varphi +1 $?

infatti kn ha sbagliato, dovrebbe essere $ 2\phi+1=\sqrt5-1+1=\sqrt5 $

in verita' a volte c'e' un po' di confusione tra $ ~\varphi $ e $ ~1/\varphi $

SkZ ha scritto:peccato che non abbia ben mostrato che e' proprio la sezione aurea

La mia non era una soluzione (si riferiva alla soluzione di Veluca), era solo un modo per fare metà conti (calcolare solo $ \displaystyle~\sqrt[4]{\Big(\frac{7+3\sqrt5}{2}\Big)} $ e quindi l'altra radice facendo il reciproco) e per fare la figata di tirare in ballo il rapporto aureo e una sua proprietà.

Veluca ha scritto:infatti kn ha sbagliato, dovrebbe essere $ \displaystyle~2\phi+1=\sqrt5-1+1=\sqrt5 $

A mia difesa riporto alcune notazioni trovate in giro, così magari SkZ o un mod ce ne consiglia una ufficiale da usare su questo forum per non creare più ambiguità

$ \begin{array}{lccc} & \text{Wikipedia italiana} & \text{Wikipedia inglese} & \text{MathWorld} \\ \displaystyle\frac{\sqrt{5}-1}{2} & \Phi & \Phi & \Phi \\ \\ \displaystyle\frac{\sqrt{5}+1}{2} & \phi & \varphi & \phi \end{array} $
Quindi se ho capito bene dovrebbe essere $ \displaystyle~\varphi=\phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2} $

kn ha scritto:A mia difesa riporto alcune notazioni trovate in giro, così magari SkZ o un mod ce ne consiglia una ufficiale da usare su questo forum per non creare più ambiguità

Mah non mi sento abbastanza "autorevole" per imporre una notazione ufficiale, non ce n'è una così chiara in giro per il mondo e non mi sembra un simbolo così fondamentale. Però posso ricordarvi che la cosa migliore per evitare ambiguità è sempre definire i simboli "non ovvi" la prima volta che compaiono.