Consideriamo il polinomio
P(x)=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1
Determinare quale resto si ottiene dividendo P(x^7) per P(x)
Polinomi
Premetto che il suggerimento di Skz non l'ho capito proprio.. e non voglio risolvere problemi ai nuovi arrivati ma questo non mi sembra tanto algebra visto che ha a che fare con i complessi..
1- P(x) ha tutte radici distinte (nessuna delle queali reale, e inoltre è irriducibile su Z[X]). Chiamiamo a_i la sequenza delle sue radici
2- Se P(a_i)=0 allora P(a_i^7)=7 per cui P(x^7)=P(x)Q(x)+7, per quale polinomio Q(x) in Z[X].
Nb. il tuo p(x) è il settimo polinomio ciclotomico tanto per la cronaca
edit: ero convinto che la condizione di radici distinte era necessaria, invece no, basta notare che P(1) non è 0, per cui P(a_i)(a_i -1)=a_i^7-1 implica a_i^7=1,e segue come prima..e diventa "olimpico"
Vedi shorlist88, problema 39, INA 4, è praticamente identico..
1- P(x) ha tutte radici distinte (nessuna delle queali reale, e inoltre è irriducibile su Z[X]). Chiamiamo a_i la sequenza delle sue radici
2- Se P(a_i)=0 allora P(a_i^7)=7 per cui P(x^7)=P(x)Q(x)+7, per quale polinomio Q(x) in Z[X].
Nb. il tuo p(x) è il settimo polinomio ciclotomico tanto per la cronaca
edit: ero convinto che la condizione di radici distinte era necessaria, invece no, basta notare che P(1) non è 0, per cui P(a_i)(a_i -1)=a_i^7-1 implica a_i^7=1,e segue come prima..e diventa "olimpico"
Vedi shorlist88, problema 39, INA 4, è praticamente identico..
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Ok, cerco di rispiegarlo..
Poniamo $ p(x)=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 $, allora $ (x-1)p(x)= x^7-1 $ e inoltre $ p(1)=7 \neq 0 $.
Siano $ \{\alpha_i\} \in \mathbb{C} $ (con i che va da 1 a 6) le radici di $ p(x) $, cioè $ p(\alpha_1)=p(\alpha_2)=...=p(\alpha_6)=0 $.
Anche per queste numeri vale $ (x-1)p(x)=x^7-1 $ cioè $ \alpha_i^7=1 $ per ogni i da 1 a 6. Allora $ p(\alpha_i^7)=p(1)=7 $ per ogni i.
Sia $ h(x) $ il polinomio tale che $ h(x)=p(x^7)-7 $, allora $ h(x) $ ha come radici tutte le radici di $ p(x) $ per quanto detto prima, allora $ h(x) $ è della forma $ p(x)q(x) $ per qualche polinomio a coefficienti interi $ q(x) $. Per cui $ p(x) | h(x) \implies p(x) | p(x^7)-7 $ cioè si ha resto 7..
Spero sia chiaro..
Poniamo $ p(x)=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 $, allora $ (x-1)p(x)= x^7-1 $ e inoltre $ p(1)=7 \neq 0 $.
Siano $ \{\alpha_i\} \in \mathbb{C} $ (con i che va da 1 a 6) le radici di $ p(x) $, cioè $ p(\alpha_1)=p(\alpha_2)=...=p(\alpha_6)=0 $.
Anche per queste numeri vale $ (x-1)p(x)=x^7-1 $ cioè $ \alpha_i^7=1 $ per ogni i da 1 a 6. Allora $ p(\alpha_i^7)=p(1)=7 $ per ogni i.
Sia $ h(x) $ il polinomio tale che $ h(x)=p(x^7)-7 $, allora $ h(x) $ ha come radici tutte le radici di $ p(x) $ per quanto detto prima, allora $ h(x) $ è della forma $ p(x)q(x) $ per qualche polinomio a coefficienti interi $ q(x) $. Per cui $ p(x) | h(x) \implies p(x) | p(x^7)-7 $ cioè si ha resto 7..
Spero sia chiaro..
The only goal of science is the honor of the human spirit.
CCCS (= Come Complicare Cose Semplici). Presumo che Jordan fosse in vena di scherzare: perchè cercare gli zeri del polinomio? Si hajordan ha scritto:visto che ha a che fare con i complessi.. Chiamiamo a_i la sequenza delle sue radici..
$ (x-1)P(x)=x^7-1 \Rightarrow x^7=(x-1)P(x)+1 $
e quindi
$ P(x^7)=[(x-1)P(x)+1]^6+analoghe $
Dividendo per P(x), ogni quadra dà resto 1, quindi il resto finale è 7.
Tutto questo naturalmente vale se per resto si intende, come abituale, il resto di una divisione fra polinomi; se invece si intende “resto della divisione fra i valori numerici assunti dai due polinomi”, la risposta cambia. Infatti
- se i due polinomi non assumono valori naturali non si può parlare di resto
- se P(x) assume un valore intero fra 1 e 7, il resto è chiaramente inferiore a 7
- la dimostrazione cade se x=1 e si rientra nel caso precedente
… e non escluderei altre difficoltà.