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Simile al #14, provinciali 2009

Inviato: 12 feb 2009, 21:30
da stefanos
Il problema n.14 mi ha fatto tornare in mente un problema abbastanza carino:
Trovare le prime 100 cifre decimali del numero $ $\left(\sqrt{26} + 5\right)^{100}$ $

C'e` una soluzione diretta e bovina, e una sempre bovina ma che sfrutta un fatterello simpatico.
Magari lasciatelo a chi non ha fatto queste provinciali!

Inviato: 13 feb 2009, 16:54
da Ciccio90
potrei sapere la soluzione di questo problema?

Inviato: 21 feb 2009, 19:41
da elianto84
Prendiamo un polinomio che abbia per radici $ 5+\sqrt{26} $ e $ 5-\sqrt{26} $:
$ p(x) = x^2 - 10x - 1 $
La quantità
$ (5-\sqrt{26})^{100} + (5+\sqrt{26})^{100} $
è un intero, in quanto traccia (somma degli elementi sulla diagonale,
ossia somma degli autovalori) della matrice a coefficienti interi:
$ \left(\begin{array}{rl} 0 & 1 \\ 1 & 10\end{array}\right)^{100} $
o anche, più semplicemente, per il binomio di Newton:
$ (x-\sqrt{y})^{2n}+(x+\sqrt{y})^{2n} = 2 \sum_{j=0}^{n}{{2n} \choose {2j}} x^{2j} y^{n-j} $


$ \log_{10}((\sqrt{26}-5)^{100})=100 \log_{10}(\sqrt{26}-5)= $
$ =-100\log_{10}(10+(\sqrt{26}-5)) $
Ora, da $ \sqrt{1+x}>1+\frac{x}{2} $ segue:
$ \sqrt{26}-5 = 5 \left(\sqrt{1+\frac{1}{25}} - 1\right) > \frac{1}{10} $
e chiaramente:
$ \log_{10}\left(10+\frac{1}{10}\right) = 1 + \log_{10}\left(1 + \frac{1}{100}\right) $
è nell'ordine di
$ 1 + c\cdot 10^{-3} $
con $ c $ compreso tra 2 e 8. (Curiosamente, c=4.321...)


In sostanza, le prime 100 cifre decimali del nostro numero sono tutte pari a 9.

Inviato: 21 feb 2009, 23:49
da stefanos
elianto84 ha scritto:La quantità
$ (5-\sqrt{26})^{100} + (5+\sqrt{26})^{100} $
è un intero,
elianto84 ha scritto:Ora, da $ \sqrt{1+x}>1+\frac{x}{2} $ segue:
$ \sqrt{26}-5 = 5 \left(\sqrt{1+\frac{1}{25}} - 1\right) > \frac{1}{10} $
Ma la disuguaglianza non è invertita? Non basta notare che $ \sqrt{26}-5<0.1 $ e quindi le prime 100 cifre decimali del numero desiderato sono tutte 0?
Dove sbaglio?

Inviato: 22 feb 2009, 06:12
da elianto84
Da nessuna parte, hai ragione, la disuguaglianza è nel verso sbagliato.
Mea culpa!
In ogni caso: le cifre sono tutte 9 perché devi -sottrarre- un numero molto piccolo.

Inviato: 22 feb 2009, 11:18
da ma_go
tanto per, quella cosa lì è intera perché è una cosa del tipo $ x^n+1/x^n $, dove $ x+1/x $ è intero, senza bisogno di conti o matrici :)

Inviato: 22 feb 2009, 11:39
da stefanos
elianto84 ha scritto:le cifre sono tutte 9 perché devi -sottrarre- un numero molto piccolo.
Oh giusto!