Probema gara a squadre; potreste aiutarmi?

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Natalino
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Probema gara a squadre; potreste aiutarmi?

Messaggio da Natalino » 30 gen 2009, 12:01

Ciao a tutti!
Volevo chiedere se qualcuno riuscisse a risolvere il problema 11 della gara nazionale a squadre del 2002, visto che si trovano solo i risultati senza soluzione; io sono arrivato fino ad un certo punto ma poi non trovo il modo per andare avanti.. copio testo e risultato:

Il link, in cui si trovano sia esercizio che soluzione è questo:

http://andfog.altervista.org/math/

Grazie mille a chiunque riuscisse ad aiutarmi!

pak-man
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Messaggio da pak-man » 30 gen 2009, 15:32

Il problema è "I sassolini di Carla", giusto?

Se abbiamo $ n $ mucchietti con $ 1,\ldots,n $ sassolini, abbiamo in totale $ \frac{n(n+1)}{2} $ sassolini. L'insieme dei sassolini viene diviso in due parti uguali, quindi ognuna delle due ha $ \frac{n(n+1)}{4} $ sassolini. Spostando $ x $ sassolini da un mucchietto all'altro otteniamo un mucchietto da $ \frac{n(n+1)+4x}{4} $ e uno da $ \frac{n(n+1)-4x}{4} $ sassolini, dunque abbiamo che
$ \frac{n(n+1)+4x}{4}=\frac{4}{3}\frac{n(n+1)-4x}{4} $
$ 28x=n(n+1) $
Poiché $ x $ e $ n $ sono naturali, abbiamo due casi:
$ (n,x)=(28,29) $, impossibile perché $ x\le n $
$ (n,x)=(27,27) $, che porta alla soluzione $ 0027 $

Non dovrebbero esserci errori, correggetemi se sbaglio

Natalino
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Messaggio da Natalino » 30 gen 2009, 23:49

La soluzione però è 92 non 27 =(..

pak-man
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Messaggio da pak-man » 30 gen 2009, 23:54

no no...sia nel file che ho io sia nel sito che hai linkato la soluzione è 27

Natalino
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Messaggio da Natalino » 31 gen 2009, 14:57

Scusami tanto, sono proprio un idiota..
Il problema di cui non riesco a trovareuna soluzione è il numero 14; le biglie di Carla; comunque tu sei stato gentilissimo, e cmq è stata molto utile anche quella che hai proposto.. grazie mille davvero!
Se potessi darmi una mano anche per il 14 sarebbe il massimo.. Cmq grazie mille in ogni caso..

andreac
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Messaggio da andreac » 31 gen 2009, 19:27

Io ho impostato così, senza troppi calcoli e pippe varie:

Un gruppo da 2 biglie può "generare"
una coppia,
nessuna terna,
nessuna quaterna

Un gruppo da 3 biglie genera
3 coppia
1 terna
0 quatera

Un gruppo da 4 genera
6 coppia
3 terna
1 quaterna

E così via, ovvero, le combinazioni di n elementi nel gruppo a gruppi di 2, 3 o 4.

Compili una tabellina e scopri che con 9 biglie in un gruppo genereresti 126 quaterne, quindi il gruppo (o gruppi) più bigliosi conterranno al massimo 8 biglie

Con 8 biglie hai
28 coppia
56 terna
70 quaterna

Da cui concludi che hai un solo gruppo con 8 biglie (se ce ne fossero due, il nonno conterebbe almeno 140 quaterne)

Ti restano da sistemare
72 coppia
44 terna
30 quaterna

Con 7 biglie generi 35 quaterna, troppe (con le 70 di prima faresti 105) allora se c'è un gruppo da 8 biglie non può essercene uno da 7

Con 6 biglie hai
15 coppia
20 terna
15 quaterna

Allora al gruppo da 8 biglie di prima ne aggiungiamo 2 da 6 biglie ciascuno, consumando il numero di quaterne. Restano da allocare 4 terne e 42 coppie

Non possiamo più scegliere gruppi da più di 3 biglie, altrimenti riusciremmo a contare altre quaterne. Quindi considereremo gruppi da 3 biglie ciascuno

Con 4 gruppi di 3 biglie sistemiamo le terne mancanti e ci restano da allocare 30 coppie

Scegliamo 30 gruppi da 2 biglie e abbiamo finito.

In totale quindi 8 + 2 x 6 + 4 x 3 + 30 x 2 = 92

Natalino
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Messaggio da Natalino » 31 gen 2009, 19:50

Grandissimo, grazie mille!! Sei stato gentilissimo!! Complimenti per la soluzione..

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