OliForum Matematico

Premetto che ho impiegato un'ora a cercare una soluzione decente, per quanto semplice possa sembrare..

Per ogni $ a,b,c $ reali positivi vale $ \frac{(a+b)^2}{c}+\frac{c^2}{a} \ge 4b $.


ps è di una gara ancora in corso credo, ma non credo faccia alcun danno postare qui, dato che dovrebbe essere anche il più facile in teoria..

oddio, a me e' venuto in 10 min e 5-6 passaggi
temo che a volte vi complichiate la vita (ovvero non cercate di semplificarvela)

SkZ ha scritto:oddio, a me e' venuto in 10 min e 5-6 passaggi

Alla fine a me in un solo passaggio

comunque potresti postare il tuo?per vedere altre opinioni..

semplice semplice, visto che viene chiesto
1) volendo si puo' notare che (wlog) $ ~a=1\dot{\lor} c=1 $ e cosi' si hanno solo 2 variabili
2) comunque se svolgi il tutto si nota che si ha una diseguaglianza di 2o grado in b, ergo...

SkZ ha scritto:semplice semplice, visto che viene chiesto
1) volendo si puo' notare che (wlog) $ ~a=1\dot{\lor} c=1 $ e cosi' si hanno solo 2 variabili
2) comunque se svolgi il tutto si nota che si ha una diseguaglianza di 2o grado in b, ergo...

avevo fatto anch'io quel procedimento, all'inizio..
posso vedere come hai concluso?

il discriminante e' $ ~-ac(2a-c)^2 $ che e' sempre minore o uguale a zero, ergo sempre positiva o sempre negativa (o nulla in 1 punto)

si hai ragione, un errore di copiatura di un segno mi aveva fatto saltare tutto..

SkZ ha scritto:$ ~a=1\dot{\lor} c=1 $

Si tratta di uno XOR, nevvero?

esatto poiche' poi riscrivere come
$ $\left(\frac{a}{c}+\frac bc\right)^2+\frac{1}{\frac{a}{c}} \ge 4\frac bc $
o
$ $\frac{(1+\frac ba)^2}{\frac ca}+\left(\frac{c}{a}\right)^2 \ge 4\frac ba $

il simbolo l'ho costruito con \dot{\lor} dato che non l'ho trovato in lista

Omogeneizzando:
$ (x+y)^2 + x^{-1} \geq 4y $
$ x^3 + 2x^2 y + xy^2 - 4xy + 1 \geq 0 $
Considerando la derivata parziale in y si ha che i punti critici
si trovano sulla retta $ x+y = 2 $, è dunque sufficiente
provare che per x compreso tra 0 e 2 vale:
$ 4 + \frac{1}{x} \geq 4(2-x) $
ossia:
$ 4x^2-4x+1 \geq 0 $
che è banale in quanto:
$ 4x^2-4x+1 = (2x-1)^2 $

$ \displaystyle \frac{a^2}{c}+6(\frac{ab}{3c})+9(\frac{b^2}{9c})+8(\frac{c^2}{8a}) \ge 4b $