disuguaglianza malefica!

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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jordan
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disuguaglianza malefica!

Messaggio da jordan » 21 gen 2009, 02:17

Premetto che ho impiegato un'ora a cercare una soluzione decente, per quanto semplice possa sembrare..

Per ogni $ a,b,c $ reali positivi vale $ \frac{(a+b)^2}{c}+\frac{c^2}{a} \ge 4b $.


ps è di una gara ancora in corso credo, ma non credo faccia alcun danno postare qui, dato che dovrebbe essere anche il più facile in teoria.. :D
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SkZ
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Messaggio da SkZ » 21 gen 2009, 15:39

oddio, a me e' venuto in 10 min e 5-6 passaggi :P
temo che a volte vi complichiate la vita (ovvero non cercate di semplificarvela) :roll:
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Messaggio da jordan » 21 gen 2009, 16:22

SkZ ha scritto:oddio, a me e' venuto in 10 min e 5-6 passaggi :P
Alla fine a me in un solo passaggio :twisted: :wink:

comunque potresti postare il tuo?per vedere altre opinioni..
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Messaggio da SkZ » 21 gen 2009, 17:05

semplice semplice, visto che viene chiesto
1) volendo si puo' notare che (wlog) $ ~a=1\dot{\lor} c=1 $ e cosi' si hanno solo 2 variabili
2) comunque se svolgi il tutto si nota che si ha una diseguaglianza di 2o grado in b, ergo...
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Messaggio da jordan » 21 gen 2009, 17:18

SkZ ha scritto:semplice semplice, visto che viene chiesto
1) volendo si puo' notare che (wlog) $ ~a=1\dot{\lor} c=1 $ e cosi' si hanno solo 2 variabili
2) comunque se svolgi il tutto si nota che si ha una diseguaglianza di 2o grado in b, ergo...
avevo fatto anch'io quel procedimento, all'inizio..
posso vedere come hai concluso?
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Messaggio da SkZ » 21 gen 2009, 17:21

il discriminante e' $ ~-ac(2a-c)^2 $ che e' sempre minore o uguale a zero, ergo sempre positiva o sempre negativa (o nulla in 1 punto)
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Messaggio da jordan » 21 gen 2009, 18:00

si hai ragione, un errore di copiatura di un segno mi aveva fatto saltare tutto..
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Messaggio da Oblomov » 21 gen 2009, 23:39

SkZ ha scritto:$ ~a=1\dot{\lor} c=1 $
Si tratta di uno XOR, nevvero?
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Messaggio da SkZ » 22 gen 2009, 00:36

esatto poiche' poi riscrivere come
$ $\left(\frac{a}{c}+\frac bc\right)^2+\frac{1}{\frac{a}{c}} \ge 4\frac bc $
o
$ $\frac{(1+\frac ba)^2}{\frac ca}+\left(\frac{c}{a}\right)^2 \ge 4\frac ba $

il simbolo l'ho costruito con \dot{\lor} dato che non l'ho trovato in lista
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Messaggio da elianto84 » 15 feb 2009, 19:04

Omogeneizzando:
$ (x+y)^2 + x^{-1} \geq 4y $
$ x^3 + 2x^2 y + xy^2 - 4xy + 1 \geq 0 $
Considerando la derivata parziale in y si ha che i punti critici
si trovano sulla retta $ x+y = 2 $, è dunque sufficiente
provare che per x compreso tra 0 e 2 vale:
$ 4 + \frac{1}{x} \geq 4(2-x) $
ossia:
$ 4x^2-4x+1 \geq 0 $
che è banale in quanto:
$ 4x^2-4x+1 = (2x-1)^2 $
Jack alias elianto84 alias jack202

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Messaggio da jordan » 15 feb 2009, 19:33

$ \displaystyle \frac{a^2}{c}+6(\frac{ab}{3c})+9(\frac{b^2}{9c})+8(\frac{c^2}{8a}) \ge 4b $ :lol:
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