Staffetta algebra

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
Euler
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Re: Staffetta algebra

Messaggio da Euler » 23 nov 2010, 13:15

Oh cavolo è vero, ho fatto un errore nel passo induttivo.
Vabbè ci sarà un'altra via...

minima.distanza
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Re: Staffetta algebra

Messaggio da minima.distanza » 23 nov 2010, 21:06

Provo io con l'induzione ( che per me se si insiste funziona...)

per $ n=1 $ si ha che $ \frac{a_1}{1+a_1^2} <1 $. Vero.
suppongo ora la tesi vera per n qualsiasi e dimostro che vale per n+1. In altre parole si deve avere che se $ \sum_{i=1}^{n}\frac{a_i}{1+\sum_{j=1}^{i}a_j^2} < \sqrt{n} $ allora $ \sum_{i=1}^{n}\frac{a_i}{1+\sum_{j=1}^{i}a_j^2} +\frac{a_{n+1}}{1+\sum_{j=1}^{n+1}a_j^2}< \sqrt{n+1} $. Facendo la differenza tra la prima e la seconda disuguaglianza si ottiene che $ \frac{a_{n+1}}{1+\sum_{j=1}^{n+1}a_j^2}< \sqrt{n+1} -\sqrt{n} = \sqrt{2\sqrt{n(n+1)}+1} $( è sufficiente dimostrare che questo fatto è vero sempre e si ha finito giusto ? è molto tempo che on dimostro per induzione... :oops:) posto $ a_{n+1}\ge 1 $ ( se $ a_{n+1}<1 $ la tesi è ovvia) Elevando membro e membro al quadrato si ha che $ \bigl( \frac{a_{n+1}}{1+\sum_{j=1}^{n+1}a_j^2}\bigr)^2 < \frac{a_{n+1}^2}{1+\sum_{j=1}^{n+1}a_j^2}<2\sqrt{n(n+1)}+1 $ dove $ \frac{a_{n+1}}{1+\sum_{j=1}^{n+1}a_j^2}<\frac{a_{n+1}^2}{1+\sum_{j=1}^{n+1}a_j^2}<2\sqrt{n(n+1)}+1 $ in quanto in caso contrario si avrebbe che $ 2\sqrt{n(n+1)}<\frac{a_{n+1}^2-1-\sum_{j=1}^{n+1}a_j^2}{1+\sum_{j=1}^{n+1}a_j^2}<0 $ che è assurdo. (? detto boiate ?) SI noti ora che $ \sqrt{2\sqrt{n(n+1)}+1} > 1 \forall n \in \mathbb{N} $ e che $ \frac{a_{n+1}}{1+\sum_{j=1}^{n+1}a_j^2} < 1 \forall a_{n+1}\in [1,\infty ) $ :da qui la tesi. MI sembra veramente troppo facile però... :(

Veluca
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Re: Staffetta algebra

Messaggio da Veluca » 23 nov 2010, 23:13

$ \sqrt{n+1} -\sqrt{n} = \sqrt{2\sqrt{n(n+1)}+1} $
è sbagliato, $ \sqrt{n+1} -\sqrt{n} = \sqrt{2n-1-2\sqrt{n(n+1)}} $ (del resto $ \sqrt{101}-\sqrt{100}<1 $...)
Pensavo di avere una soluzione, ma mi sono accorto che il primo passaggio è pesantemente cannato :oops: quindi per non sprecare il lavoro di scrittura (e perchè magari a qualcuno può tornar utile..) dimostro un fatto più debole:

$ \displaystyle\sum_{i=0}^n\frac{a_i}{1+\displaystyle\sum_{j=0}^na_j^2}\lt\sqrt n $, cioè
$ \displaystyle\sum_{i=0}^na_i\lt\sqrt n\left(1+\sum_{i=0}^na_i^2\right) $
Per C-S so che
$ \displaystyle\sum_{i=0}^na_i\le\sqrt n\sqrt{\sum_{i=0}^na_i^2} $
Rimane allora da dimostrare che $ \displaystyle\sqrt{\sum_{i=0}^na_i^2}\lt1+\sum_{i=0}^na_i^2 $
pongo ora $ \displaystyle T=\sum_{i=0}^na_i^2 $ per comodità..
Devo mostrare che $ \sqrt T\lt 1+T $, che è equivalente a $ T^2+T+1\gt0 $, che è sempre vero

(mi sembrava troppo semplice come soluzione..)

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exodd
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Re: Staffetta algebra

Messaggio da exodd » 24 nov 2010, 01:04

Veluca ha scritto: $ \displaystyle\sum_{i=0}^n\frac{a_i}{1+\displaystyle\sum_{j=0}^na_j^2}\lt\sqrt n $, cioè
$ \displaystyle\sum_{i=0}^na_i\lt\sqrt n\left(1+\sum_{i=0}^na_i^2\right) $
:?:
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
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"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"

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Re: Staffetta algebra

Messaggio da minima.distanza » 28 nov 2010, 20:00

mmm... Correggetemi se sbaglio, ma mi pare che sia sufficente trattare il caso in cui gli $ a_i $ sono positivi per la dimostrazione in quanto se la tesi è vera
$ \sum_{i=1}^{n}\frac{a_i}{1+\sum_{j=1}^{i}a_j^2} = \sum_{i=1}^{k}\frac{a_{i+}}{1+\sum_{j=1}^{i}a_{j+}^2} - \sum_{i=1}^{w}\frac{|a_{i-}|}{1+\sum_{j=1}^{i}a_{j-}^2} < \sqrt{w+k} $ dove gli $ a_{i+} $ sono gli $ a_i $ maggiori di zero e gli $ a_{i-} $ sono gli $ a_i $ minori di zero e w+k=n. Bene, almeno chi prova non ha rogne di segni vari, se può servire a qualcuno...

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Re: Staffetta algebra

Messaggio da minima.distanza » 29 nov 2010, 21:55

bene, rieccomi che provo ancora :D .
Se la tesi è vera per $ n $ è vera anche per il suo successivo $ n+1 $. Ora, scrivendo la tesi per n e n+1 si ah che
$ \sum_{r=1}^{n}\frac{a_r}{1+\sum_{j=1}^{r}a_j^2} < \sqrt{n} $
$ \sum_{r=1}^{n+1}\frac{a_r}{1+\sum_{j=1}^{r}a_j^2} < \sqrt{n+1} $
Facendo la differenza tra le due disuguaglianze si ottiene che $ \frac{a_{n+1}}{1+\sum_{j=1}^{n+1}a_j^2} < \sqrt{n+1} -\sqrt{n} $.
Siccome considero il caso in cui tutti gli $ a_i $ siano positivi per ciò che ho detto nel post precedente ( che nessuno ha confermato, ma prendo per vero, non mi pare sbagliato..) e ora ordino gli $ a_i $ in modo tale che se $ j>i $ allora $ a_j >i $. Fatto l'inverso e quindi cambiato il verso della disuguaglianza precedente ( posso farlo senza senzi di colpa, sono tutti positivi tanto...) si ottiene che
$ \frac{1}{a_{n+1}} +a_{n+1} +\sum_{j=1}^{n}\frac{a_j^2}{a_{n+1}} > \sqrt{n+1} +\sqrt{n} $
Verifichiamo ora i vari casi:
pongo $ u = a_{n+1} $ per comodità di scrittura e guardo cosa succede quando $ u = \sqrt{n+1} -\sqrt{n} $. Sostituendo nella disuguaglianza precedente si ha che $ \sqrt{n+1} +\sqrt{n} +\sqrt{n+1} -\sqrt{n} +\sum_{j=1}^{n}\frac{a_j^2}{a_{n+1}} > \sqrt{n+1} +\sqrt{n} $ Vero !
Quando $ u<\sqrt{n+1} -\sqrt{n} $ si ha che $ u =\sqrt{n+1} -\sqrt{n} -|k_1| $ e quindi $ \frac{1}{u} = \sqrt{n+1} +\sqrt{n} +|k_2| $ e si ottiene, sostituendo come prima, che
$ \sqrt{n+1} +\sqrt{n}+|k_2| +\sqrt{n+1} -\sqrt{n} -|k_1|+\sum_{j=1}^{n}\frac{a_j^2}{a_{n+1}} > \sqrt{n+1} +\sqrt{n} $ che è vero ( ! ) in quanto.... beh, $ |k_2| $ cresce molto più in fretta di $ |k_1| $ ! ehm.. questo non so spiegarlo bene, ma ne sono ( quasi ) certo, magari serve qualcosa che io non conosco ( so solo la definizione di derivata...) :oops:
Alllo stesso modo tratto l'ultimo caso
Quando $ u>\sqrt{n+1} -\sqrt{n} $ si ha che $ u =\sqrt{n+1} -\sqrt{n} +|k_1| $ e quindi $ \frac{1}{u} = \sqrt{n+1} +\sqrt{n} -|k_2| $ e si ottiene, sostituendo come prima, che
$ \sqrt{n+1} +\sqrt{n}-|k_2| +\sqrt{n+1} -\sqrt{n} +|k_1|+\sum_{j=1}^{n}\frac{a_j^2}{a_{n+1}} > \sqrt{n+1} +\sqrt{n} $ che è vero ( ! ) in quanto.... beh, $ |k_1| $ cresce molto più in fretta di $ |k_2| $ ed essendo $ k_2 $ molto più piccolo di $ k_1 $ ! ehm.. per lo stesso motivo di prima al rovescio ?? :oops: :oops: Comunque non mi sembra sbagliato come ragionamento...

Fatti tutti i casi, sembra che valga per ogni $ a_{n+1} $ che si scelga...

Scusate se continuo ad infierire, ma sono passato a febbraio e vorrei andare a cesenatico... :evil:

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Federiko
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Re: Staffetta algebra

Messaggio da Federiko » 30 nov 2010, 13:14

Cambia strada, la tua induzione non funzionerà mai! Infatti se prendo per esempio $ a_1=a_2=...=a_n=0 $ e $ a_{n+1}=1 $ non è vero che $ \frac{a_{n+1}}{1+\sum_{j=1}^{n+1}a_j^2} =\frac{1}{2}< \sqrt{n+1} -\sqrt{n} $ !!

Comunque l'errore è quando fai gli inversi.. Hai scordato di fare l'inverso anche del membro di destra..
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Re: Staffetta algebra

Messaggio da minima.distanza » 30 nov 2010, 18:29

Nooo ! XD Va beh, o capito, lasciamo stare con la staffetta d'algebra per ora :shock: Grazie per la correzione federiko !

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Re: Staffetta algebra

Messaggio da dario2994 » 03 dic 2010, 19:59

Dato che ho bloccato la staffetta stavo pensando di cambiare problema o di lasciare a qualcun altro quest'onere... se qualcuno sta pensando all'attuale problema/gli piace/lo sa risolvere lo dica altrimenti entro qualche giorno cambio problema.
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Re: Staffetta algebra

Messaggio da Federiko » 04 dic 2010, 12:44

Vabbè dai posto io qualche ideuccia per fare questo problema.. E ravvivare un pochino la staffetta! Fede, hai notato che hai fermato 3 staffette: algebra, combinatoria e tdn?? ahahahaha :D

Allora, idee orribili con l'analisi, quando non si sa cosa fare..

Assumo che tutti siano maggiori o uguali a zero.
$\displaystyle \frac{a_i}{1+\sum_{j=1}^{i-1}a_j^2+a_i^2}=\frac{1}{\frac{1+\sum_{j=1}^{i-1}a_j^2}{a_i}+a_i}\le \frac{1}{2\sqrt{1+\sum_{j=1}^{i-1}a_j^2}}$
ho usato AM-GM.
Ora, supponendo che tutti gli $a_i$ siano maggiori o uguali a 1, ho $1+\sum_{j=1}^{i-1}a_j^2\ge i$ e quindi
$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{a_i}{1+\sum_{j=1}^{i-1}a_j^2+a_i^2} \le \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2\sqrt{1+\sum_{j=1}^{i-1}a_j^2}} \le \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2\sqrt i}$

Provo per induzione che $$\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2\sqrt i}\le \sqrt n -\frac{1}{2}$$. Il passo base è ok, usando l'ipotesi induttiva rimane da provare che $\sqrt n + \frac{1}{2\sqrt{n+1}} \le \sqrt{n+1} \Leftrightarrow n\le (\sqrt{n+1}-\frac{1}{2\sqrt{n+1}})^2 =n+1+\frac{1}{4(n+1)} -1= n+\frac{1}{4(n+1)}$ che è vera. E $\sqrt n -\frac{1}{2}< \sqrt n$, quindi ho vinto. Resta il caso in cui qualche $a_i$ sia compreso tra 0 e 1.. Non mi viene in mente altra idea per sistemare che considerare il massimo indice per cui $a_i<1$ e a suon di derivate dimostrare che la somma, considerata come funzione di $a_i$, è crescente nell'intervallo $[0,1)$...... ma è brutto brutto, ci penserò ancora un pochino quando avrò tempo!
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Re: Staffetta algebra

Messaggio da dario2994 » 04 dic 2010, 14:37

Federiko ha scritto:Fede, hai notato che hai fermato 3 staffette: algebra, combinatoria e tdn?? ahahahaha :D
Sisi, ma qui ho proposto di cambiare problema un po' perchè ci sta da mesi, un po' perchè non sono riuscito a risolverlo :oops: (ma so dove trovare una soluzioni :roll: )
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Re: Staffetta algebra

Messaggio da Federiko » 04 dic 2010, 15:31

ahiahiai, mai postare un problema di cui non si conosce la soluzione!! cmq dove si trova la soluzione?
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Re: Staffetta algebra

Messaggio da dario2994 » 04 dic 2010, 16:10

Federiko ha scritto:ahiahiai, mai postare un problema di cui non si conosce la soluzione!! cmq dove si trova la soluzione?
8) segreto 8) (che sarà svelato entro una settimana in ogni caso: se qualcuno risolve allora il posto sarà questo, altrimenti lo linko ;) )
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Re: Staffetta algebra

Messaggio da Anér » 04 dic 2010, 23:02

Dovrebbe essere un IMO shortlist, mi pare del 2001.
Sono il cuoco della nazionale!

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Re: Staffetta algebra

Messaggio da dario2994 » 08 dic 2010, 20:46

Personalmente l'attuale problema mi ha rotto... penso che anche il resto del mondo (profondamente toccato dallo stop della staffetta) approvi e condivida... di conseguenza lascio la possibilità a chiunque voglia di piazzare il prossimo problema...

Edit: Se volete vedere la soluzione:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 66#p119163
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