OliForum Matematico

Sia $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ una funzione continua.

Un reale positivo t si dice gioioso se per ogni x reale $ f(x)=f(x+t) $

Sia G l'insieme dei reali positivi gioiosi.

Supponiamo che G contenga almeno un elemento e che G non abbia un minimo.

Si dimostri che f è costante.

Domanda bonus: è necessaria l'ipotesi che la funzione sia continua?

P.S. Non so se vada qui on in MnE questo problema, ma lo ho postato in algebra perché non mi sembra siano indispensabili strumenti troppo avanzati per risolverlo.

Dato che G è limitato inferiormente e non ha minimo ha necessariamente un estremo inferiore, che è quindi punto di accumulazione. Cioè: $ \forall a \in \mathbb{R}^+,\ \exists\ g_i, g_j: |g_i-g_j|<a $.

Il periodo della funzione divide la differenza tra 2 qualunque elementi di G quindi $ \forall a>0\in \mathbb{R} $ il periodo della funzione è minore di a.
Supponiamo di avere una funzione continua f tale che $ |f(x_1)-f(x_2)|=k $ con $ k>0 $. Wlog $ x_1>x_2 $. Se la funzione è continua, preso un qualunque reale positivo b allora esisterà un intorno destro I di $ x_2 $ cioè $ I=(x_2,x_2+c) $ con $ c>0 $ tale che $ |f(x)-f(x_2)|<b \ \forall x\in I $. Ciò è impossibile poichè per ogni c, il periodo della funzione è minore di c quindi all'interno di I avremo un elemento uguale a $ f(x_1) $.

E' necessario che la funzione sia continua. Un possibile controesempio è costituito da $ G=\{ x:x=\frac{1}{n} \ \forall n\in \mathbb{N}_0\} $ e $ f(x)=1 \ \forall x \in \mathbb{Q} $, $ f(x)=0 \ \forall x \in \mathbb{R}-\mathbb{Q} $



ps: l'ho spezzato in 2 perchè mi dava problemi il latex se lo mettevo tutto insieme

eli9o ha scritto:Un possibile controesempio è costituito da $ G=\{ x:x=\frac{1}{n} \ \forall n\in \mathbb{N}_0\} $ e $ f(x)=1 \ \forall x \in \mathbb{Q} $, $ f(x)=0 \ \forall x \in \mathbb{R}-\mathbb{Q} $

Se $ f $ è la funzione da te definita si ha che $ f(x+2)=f(x) $ per ogni $ x \in \mathbb{R} $. Ma $ 2 \notin G $.

Ah sì, l'avevo pensato solo in un verso

Allora prendiamo $ G=\mathbb{Q}^+ $