qual è il periodo?

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piever
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qual è il periodo?

Messaggio da piever » 16 gen 2009, 18:27

Sia $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ una funzione continua.

Un reale positivo t si dice gioioso se per ogni x reale $ f(x)=f(x+t) $

Sia G l'insieme dei reali positivi gioiosi.

Supponiamo che G contenga almeno un elemento e che G non abbia un minimo.

Si dimostri che f è costante.

Domanda bonus: è necessaria l'ipotesi che la funzione sia continua?

P.S. Non so se vada qui on in MnE questo problema, ma lo ho postato in algebra perché non mi sembra siano indispensabili strumenti troppo avanzati per risolverlo.
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)

eli9o
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Messaggio da eli9o » 18 gen 2009, 19:23

Dato che G è limitato inferiormente e non ha minimo ha necessariamente un estremo inferiore, che è quindi punto di accumulazione. Cioè: $ \forall a \in \mathbb{R}^+,\ \exists\ g_i, g_j: |g_i-g_j|<a $.
Hypotheses non fingo

eli9o
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Messaggio da eli9o » 18 gen 2009, 19:23

Il periodo della funzione divide la differenza tra 2 qualunque elementi di G quindi $ \forall a>0\in \mathbb{R} $ il periodo della funzione è minore di a.
Supponiamo di avere una funzione continua f tale che $ |f(x_1)-f(x_2)|=k $ con $ k>0 $. Wlog $ x_1>x_2 $. Se la funzione è continua, preso un qualunque reale positivo b allora esisterà un intorno destro I di $ x_2 $ cioè $ I=(x_2,x_2+c) $ con $ c>0 $ tale che $ |f(x)-f(x_2)|<b \ \forall x\in I $. Ciò è impossibile poichè per ogni c, il periodo della funzione è minore di c quindi all'interno di I avremo un elemento uguale a $ f(x_1) $.

E' necessario che la funzione sia continua. Un possibile controesempio è costituito da $ G=\{ x:x=\frac{1}{n} \ \forall n\in \mathbb{N}_0\} $ e $ f(x)=1 \ \forall x \in \mathbb{Q} $, $ f(x)=0 \ \forall x \in \mathbb{R}-\mathbb{Q} $



ps: l'ho spezzato in 2 perchè mi dava problemi il latex se lo mettevo tutto insieme :?
Hypotheses non fingo

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Russell
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Messaggio da Russell » 19 gen 2009, 13:27

eli9o ha scritto:Un possibile controesempio è costituito da $ G=\{ x:x=\frac{1}{n} \ \forall n\in \mathbb{N}_0\} $ e $ f(x)=1 \ \forall x \in \mathbb{Q} $, $ f(x)=0 \ \forall x \in \mathbb{R}-\mathbb{Q} $
Se $ f $ è la funzione da te definita si ha che $ f(x+2)=f(x) $ per ogni $ x \in \mathbb{R} $. Ma $ 2 \notin G $.
"Il fatto che un'opinione sia ampiamente condivisa, non è affatto una prova che non sia completamente assurda" B. Russell

eli9o
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Messaggio da eli9o » 19 gen 2009, 17:47

Ah sì, l'avevo pensato solo in un verso :?

Allora prendiamo $ G=\mathbb{Q}^+ $
Hypotheses non fingo

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