QM-AM

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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jordan
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Messaggio da jordan » 28 nov 2008, 01:03

"Dati $ a_1,a_2,..a_n $ reali positivi allora $ \displaystyle \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \le \sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}{n}} $, con uguaglianza se e solo se $ a_i=a_{i+1}, 1 \le i \le n-1 $".

Conosciuta no?
Proporrei che ogni risposta corrisponda a una dimostrazione possibilmente diversa.. Arriveremo a dieci? :lol:
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Il_Russo
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Messaggio da Il_Russo » 28 nov 2008, 16:17

Iniziamo con i classici

Cauchy-Schwarz su $ (a_1, \ldots, a_n) $ e $ \{1\}^n $, cioè n-upla di tutti 1.

Infatti:
$ \displaystyle (1\cdot a_1 + \ldots + 1\cdot a_n)^2 \leq (\overbrace{1+\ldots+1}^n)(a_1^2+\ldots+a_n^2) $

per Cauchy-Schwartz, da cui, dividendo per $ n^2 $

$ \displaystyle \frac{(a_1 + \ldots + a_n)^2}{n^2} \leq \frac{(a_1^2+\ldots+a_n^2)}{n} $

ed estraendo la radice

$ \displaystyle \frac{a_1 + \ldots + a_n}{n} \leq \sqrt{\frac{a_1^2+\ldots+a_n^2}{n}} $
Ultima modifica di Il_Russo il 02 dic 2008, 15:35, modificato 1 volta in totale.
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jordan
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Messaggio da jordan » 28 nov 2008, 17:35

E la prima va al nostro russo (che torna fra noi! :D :D )
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mod_2
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Messaggio da mod_2 » 28 nov 2008, 18:37

Va bene se dico media p-esima?
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Anér
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Messaggio da Anér » 28 nov 2008, 18:53

Elevo alla seconda e uso Chebycheff con $ \frac{a_1}{n},\frac{a_2}{n} $...
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jordan
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Messaggio da jordan » 28 nov 2008, 19:02

yaaaa,
la seconda va a mod, e la terza a Aner :P :P
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pasqui90
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Messaggio da pasqui90 » 28 nov 2008, 19:31

Jensen sulla funzione $ f(x)=x^2 $ che a quanto pare è convessa... e successiva estrazione di radice quadrata... :)

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jordan
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Messaggio da jordan » 28 nov 2008, 19:40

e pasqui90 con Karamata va la quarta!
Adesso il gioco inizia a diventare divertente :P
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Anér
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Messaggio da Anér » 29 nov 2008, 15:07

Prendo i due vettori $ \left(\frac{a_1}{n}; \cdots ; \frac{a_n}{n}\right) $ e $ (1;\cdots ;1) $, e ne faccio il prodotto scalare e il prodotto delle norme. Poiché il prodotto scalare è il prodotto delle norme per il coseno dell'angolo compreso tra i vettori, e poiché tale coseno è minore o uguale a uno, con il prodotto scalare ottengo qualcosa di più piccolo.
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Messaggio da jordan » 29 nov 2008, 19:11

Anér ha scritto:[...] Poiché il prodotto scalare è il prodotto delle norme per il coseno dell'angolo compreso tra i vettori[...]
Quasi quasi chauchy, comunque diamola buona, siamo a 5 di nuovo con Aner :D
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Messaggio da Anér » 30 nov 2008, 16:20

jordan ha scritto:Quasi quasi chauchy, comunque diamola buona, siamo a 5 di nuovo con Aner :D
In effetti possiamo aggiungere tutte le dimostraizioni di Cauchy, dunque anche l'induzione su n e il famoso polinomio somma di quadrati.
Ultima modifica di Anér il 02 dic 2008, 18:21, modificato 1 volta in totale.
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Messaggio da Nonno Bassotto » 01 dic 2008, 23:04

Questo topic potrebbe diventare utile per i nuovi, però bisognerebbe modificare i messaggi che avete postato per aggiungere i dettagli di ogni dimostrazione (magari richiamando anche le disuguaglianze note che citate). Se ne avete voglia... :wink:
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Messaggio da jordan » 02 dic 2008, 00:16

Nonno Bassotto ha scritto:Questo topic potrebbe diventare utile per i nuovi, però bisognerebbe modificare i messaggi che avete postato per aggiungere i dettagli di ogni dimostrazione
Grazie :D
Ci penso io... a condizione che si arrivi a dieci :twisted:
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Jacobi
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Messaggio da Jacobi » 03 dic 2008, 16:02

per omogeneita possiamo porre wlog $ \sum_{i=1}^{n}{a_i}=1 $ e quindi la disuguaglianza diventa : $ \sum_{i=1}^{n}{a_i^2}\geq \frac{1}{n} $.Ora cominciamo con l'artiglieria pesante :D : poniamo $ f(a_1, ..., a_n) = \sum_{i=1}^{n}{a_i^2} - \frac{1}{n} $ e $ g(a_1, ..., a_n) = \sum_{i=1}^{n}{a_i} - 1 $, allora per lagrange deve essere: $ {\nabla f} = \lambda \nabla g $ , da cui: $ 2a_i = \lambda $, quindi sommando tt le disuguaglianze e ricordando ke $ \sum_{i=1}^{n}{a_i}=1 $ abbiamo: $ \lambda = \frac{2}{n} $, da cui $ a_i = \frac{1}{n} $. poiche le derivate parziali seconde di f sn tt uguali a 2 ke e positivo tale punto e un minimo da cui la tesi 8)
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Messaggio da jordan » 03 dic 2008, 16:26

ok a jacobi (che non si è dimenticato le condizioni del secondo ordine :D ), siamo a sei adesso..
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