Disuguaglianza

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karotto
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Disuguaglianza

Messaggio da karotto » 07 nov 2008, 21:44

Credo che per voi sia facile dimostrare che (scusate se non so scrivere con in tex):

sommatoria per i che va da 1 a n del valore assoluto di xi minore uguale di radicaln per la sommatoria per i che va da 1 a n di xi al quadrato.

Scusate ancora se non so scrivere col tex.
Grazie[/tex]

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Haile
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Re: Disuguaglianza

Messaggio da Haile » 07 nov 2008, 21:50

karotto ha scritto:Credo che per voi sia facile dimostrare che (scusate se non so scrivere con in tex):

sommatoria per i che va da 1 a n del valore assoluto di xi minore uguale di radicaln per la sommatoria per i che va da 1 a n di xi al quadrato.

Scusate ancora se non so scrivere col tex.
Grazie[/tex]
$ $\sum_{i=1}^n |x_i| \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}$ $

C'è qualcosa che non torna... che vuol dire "radicaln per la sommatoria"?
[i]
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[/i]

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SkZ
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Messaggio da SkZ » 07 nov 2008, 22:12

A memoria la somma dei moduli e' maggiore della radice della somma dei quadrati
(vedi propagazione degli errori).
(beh si vede facilmente prendendo n valori uguali)
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

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jordan
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Messaggio da jordan » 07 nov 2008, 23:02

mica per caso intendevi $ \displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^n{x_i^2}} \le \sum_{i=1}^{n}{|x_i|} \le \sqrt{n \sum_{i=1}^n{x_i^2}} $, perche la tua è un pochino fortina.. :?
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karotto
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Messaggio da karotto » 08 nov 2008, 14:09

Intendo esattamente la relazione di jordan

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kn
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Messaggio da kn » 08 nov 2008, 17:33

Dimostro $ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{|x_i|} \le \sqrt{n \sum_{i=1}^n{x_i^2}} $:
$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{|x_i|} \le \sqrt{n \sum_{i=1}^n{|x_i|^2}} $
$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{|x_i|} \le n\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{|x_i|^2}}{n}} $
e infine: $ \displaystyle \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{|x_i|}}{n} \le \sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{|x_i|^2}}{n}} $,
vera per AM-QM 8)

karotto
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Messaggio da karotto » 08 nov 2008, 20:09

Scusa forse non ho capito io; ma hai dimostrato partendo dalla tesi?

Pigkappa
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Messaggio da Pigkappa » 08 nov 2008, 20:16

Se i passaggi sono invertibili si può fare. Lui ora potrebbe ricopiare i suoi passaggi all'indietro.

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Messaggio da julio14 » 08 nov 2008, 20:19

È partito dalla tesi, ma è andato avanti di "se e solo se", quindi l'AM-QM finale implica la tesi iniziale. In effetti è stato "fortunato", perché i passaggi algebrici sono sempre "se e solo se" (a parte quando si fanno cose strane tipo moltiplicare o dividere per 0). Fortunato tra virgolette perché credo sapesse quello che faceva, in ogni caso per star sicuri bisognerebbe sempre partire dalle ipotesi e arrivare alla tesi (anche se i ragionamenti li hai fatti nell'altro senso).

edit: battuto sul tempo da pig
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Messaggio da karotto » 08 nov 2008, 20:35

Ma l'"infine" non ho capito. Forse è una relazione nota?

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Messaggio da SkZ » 08 nov 2008, 20:45

si
considerati n elementi positivi, la media quadratica (QM) e' maggiore uguale della media aritmetica (AM), che e' maggiore uguale alla media geometrica (GM), che e' maggiore uguale alla media armonica (HM)

QM= radice quadra della media aritmetica dei quadrati
AM= media classica
GM= radice n-esima del prodotto degli n valori (il suo log e' la media dei log dei valori ;))
HM=inverso della media aritmetica degli inversi dei valori
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

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Messaggio da julio14 » 08 nov 2008, 20:58

Più in generale, si definiscono le medie p-esime di $ $a_1,...,a_n\in \mathbb{R}^+ $ come
$ $M_p(a_1,...,a_n)=\left(\frac {a_1^p+...a_n^p}n\right)^{\frac1p} $
e per p<q si ha la disuguaglianza $ $M_p(a_1,...,a_n)\le M_q(a_1,...,a_n) $, vale il segno di uguaglianza se e solo se tutti gli $ $a_i $ sono uguali.
Le medie classiche sono medie p-esime per particolari valori di p, inoltre per p tendente rispettivamente a +infinito, -infinito e zero abbiamo il massimo di (a_1,...,a_n), il minimo di (a_1,...,a_n) e la media geometrica.
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Messaggio da karotto » 08 nov 2008, 20:58

Non è possibile dimostrarlo a prescindere dalla media?

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Messaggio da SkZ » 08 nov 2008, 21:02

quelle relazioni tra medie si dimostrano pure loro, non sono assiomi.
E' che normalmente sono relazioni che si danno per note
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

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Messaggio da kn » 09 nov 2008, 13:54

julio14 ha scritto:È partito dalla tesi, ma è andato avanti di "se e solo se"
Sì di solito per quanto riguarda l'algebra si può fare, anche se con le disequazioni bisogna stare attenti. Le operazioni più comuni che si fanno con le equazioni sono dei "se e solo se"
(anche con le disequazioni); se invece un passaggio ha a che fare solo con le disequazioni spesso non può essere percorso al contrario
es.: $ a+x \le b \wedge a \ge 0 \implies x \le b $ ma non è vero che $ x \le b \implies a+x \le b \wedge a \ge 0 $
se ho scritto eresie correggetemi
p.s.: $ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{|x_i|} \le \sqrt{n \sum_{i=1}^n{x_i^2}} $ si dimostra più velocemente con Cauchy-Schwarz sulle tuple $ (|x_1|,|x_2|,\dots,|x_{n-1}|,|x_n|) $ e $ (1,1,\dots,1,1) $ :D

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