Ani-sama ha scritto:julio14 ha scritto:Per il caso generale [...]
Potresti formalizzare per bene tutto quanto?
La dimostrazione che ho io è diversa, poi semmai la metto.
Ok, me la prendo come scusa morale per fare una pausa dal folle studio di storia per l'interrogazione di domani
Sia $ $a_0 $ l'unico punto fisso di $ $f^m $. Chiamo $ $a_n=f^{n}(a_0) $. Essendo $ $a_m=a_0 $, risulta ovvio che $ $i\equiv j\pmod m\Rightarrow a_i=a_j $ (in pratica si forma un ciclo). Ma allora se $ $a_0 $ non fosse punto fisso di $ $f $, avremmo che $ $1\equiv m+1\pmod m\Rightarrow a_1=a_{m+1}\Leftrightarrow a_1=f^{m+1}(a_0)=f^m(f(a_0))=f^m(a_1) $ quindi $ $a_1 $ sarebbe punto fisso, assurdo. Segue che $ $a_1=a_0 $, quindi $ $a_0 $ è punto fisso.
Ora la simpatica generalizzazione. Quanto detto per $ $a_1 $ è ovviamente vero per qualunque altro $ $a_i $ con $ $0\le i<m $ (a dire il vero la restrizione è superflua... la metto per non complicarmi la vita). Questo vuol dire che ogni $ $a_i $ è punto fisso di $ $f^m $, solo che è possibile che il ciclo da 0 a m-1 si sia ripetuto (se m=6, possiamo avere $ $(a_0,\dots,a_5);(a_0,a_1,a_2,a_0,a_1,a_2);(a_0,a_1,a_0,a_1,a_0,a_1);(a_0,\dots,a_0) $). In ogni caso, però, il numero degli $ $a_i $ distinti è divisore di m. Segue che il numero $ $k $ di punti fissi di $ $f^m $ è uguale una certa somma di divisori di m, dove a ogni divisore $ $d $ corrisponde un ciclo di lunghezza $ $d $ a cui appartengono $ $d $ $ $a_i $ distinti (ovviamente i cicli sono completamente disgiunti). Ora, se un certo $ $b $ è punto fisso di $ $f $ allora è anche punto fisso di $ $f^m $ e ovviamente in $ $f^m $ genera m sottocicli di lunghezza 1. Viceversa, se $ $b $ è un punto fisso di $ $f^m $ che genera sottocicli di lunghezza 1, allora è punto fisso di $ $f $. Questo vuol dire che nella somma di divisori di m che genera $ $k $ ad ogni divisore 1 corrisponde un punto fisso di $ $f $, e per tutti gli altri divisori non ci sono punti fissi di $ $f $. Segue che se $ $f^m $ ha $ $k $ punti fissi, allora $ $f $ avrà $ $k-s $ punti fissi, dove $ $s\le k $ è una somma di divisori di $ $m $ diversi da 1.
Anzi, molto probabilmente non l'ho nemmeno mai vista direttamente. Vabeh... comunque in linea di massima topologicamente si tratta di due proprietà ben distinte. 
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