simpatica disuguaglianza di origini incerte...

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
Rispondi
piever
Messaggi: 645
Iscritto il: 18 feb 2006, 13:15
Località: Roma
Contatta:

simpatica disuguaglianza di origini incerte...

Messaggio da piever » 14 set 2008, 15:25

Siano x e y due reali positivi.

Dimostrare che $ x^y+y^x>1 $

Buona fortuna...
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)

Avatar utente
julio14
Messaggi: 1206
Iscritto il: 11 dic 2006, 18:52
Località: Pisa

Messaggio da julio14 » 14 set 2008, 18:44

ahhhhhhhh nooooo lei nooooo (è anche vero che forse sono l'unico che allegramente si faceva il dodecaedro di rubik mentre pifer&co sbattevano la testa su questo problema... ma vedervi farlo mi è bastato)
"L'unica soluzione è (0;0;0)" "E chi te lo dice?" "Nessuno, ma chi se ne fotte"
[quote="Tibor Gallai"]Alla fine, anche le donne sono macchine di Turing, solo un po' meno deterministiche di noi.[/quote]
Non sono un uomo Joule!!!

eli9o
Messaggi: 106
Iscritto il: 14 mag 2008, 19:43

Messaggio da eli9o » 14 set 2008, 19:10

Cosa c'è di poco chiaro nella frase: andate a dormire ora? :lol:

Almeno era per una causa nobile, dai...
Hypotheses non fingo

piever
Messaggi: 645
Iscritto il: 18 feb 2006, 13:15
Località: Roma
Contatta:

Messaggio da piever » 14 set 2008, 19:51

lol...

Più seriamente: è un problema simpatico e ha una soluzione carina...
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)

g(n)
Messaggi: 109
Iscritto il: 14 ott 2007, 19:24
Località: Codroipo, il paese più anagrammato d'Italia

Messaggio da g(n) » 14 set 2008, 20:31

[OT]
eli9o ha scritto:Cosa c'è di poco chiaro nella frase: andate a dormire ora? :lol:
:lol: :lol: :lol:


Scusa Pietro se infesto il tuo post con messaggi inutili, prometto che sbatterò la testa sul problema almeno per dieci minuti prima di accorgermi che non lo so fare...

[/OT]

Avatar utente
exodd
Messaggi: 728
Iscritto il: 09 mar 2007, 19:46
Località: sulle pendici della provincia più alta d'europa

Messaggio da exodd » 15 set 2008, 10:02

osservo solo che se x o y sono maggiori di uno, la diseguaglianza vale sempre perchè non esiste radice di un numero magiore o uguale a 1 tale che il risultato sia minore di 1
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
ispiratore del BTA

in geometry, angles are angels

"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"

Avatar utente
Algebert
Messaggi: 330
Iscritto il: 31 lug 2008, 20:09
Località: Carrara
Contatta:

Messaggio da Algebert » 15 set 2008, 14:30

exodd ha scritto:osservo solo che se x o y sono maggiori di uno, la diseguaglianza vale sempre perchè non esiste radice di un numero magiore o uguale a 1 tale che il risultato sia minore di 1
Si è vero ma penso che il difficile sia proprio dimostrare questa disuguaglianza per $ $0 < x,y < 1$ $ 8) !
"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."

Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Messaggio da jordan » 15 set 2008, 14:39

Algebert ha scritto:questa disuguaglianza per $ $0 < x,y < 1$ $ 8) !
Già che ci sei potevi anche metterci $ 0<x<y<1 $, tanto il minimo di $ x^x $ credo lo conoscano tutti.. :lol:
The only goal of science is the honor of the human spirit.

Avatar utente
Algebert
Messaggi: 330
Iscritto il: 31 lug 2008, 20:09
Località: Carrara
Contatta:

Messaggio da Algebert » 15 set 2008, 18:45

jordan ha scritto:Già che ci sei potevi anche metterci $ 0<x<y<1 $, tanto il minimo di $ x^x $ credo lo conoscano tutti.. :lol:
Giusto :) ! Anche perchè la disuguaglianza è omogenea, o sbaglio :? ?
"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."

Avatar utente
exodd
Messaggi: 728
Iscritto il: 09 mar 2007, 19:46
Località: sulle pendici della provincia più alta d'europa

Messaggio da exodd » 16 set 2008, 09:47

jordan ha scritto:tanto il minimo di $ x^x $ credo lo conoscano tutti.. :lol:
....
quant'è?????
ho provato a ricavarmelo, ma non è derivabile e non abbiamo dati numerici per le disuguaglianze...
facendo il gravico noto che si avvicina stranamente a sen 45°...
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
ispiratore del BTA

in geometry, angles are angels

"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"

Zok
Messaggi: 140
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Cambridge - Verona

Messaggio da Zok » 16 set 2008, 12:37

$ x^x=e^{\ln{x^x}}=e^{x\cdot \ln{x}} $
La derivata si calcola facilmente e risulta essere $ e^{ln x^x}\cdot (\ln{x} +1)=x^x\cdot (\ln{x} +1) $ che si annulla quando $ x=\frac{1}{e} $

piever
Messaggi: 645
Iscritto il: 18 feb 2006, 13:15
Località: Roma
Contatta:

Messaggio da piever » 21 set 2008, 11:35

No Algebert, non è omogenea...

Comunque per chi volesse lascio un hint:

Visto che sembra comodo usare Bernoulli, come si può passare da cose reali a cose intere? Se x<1 c'è n tale che 1/n>x>=1/(n+1) e lo stesso vale per y....


(selezionare il testo per visualizzarlo)

Buona fortuna...
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)

Avatar utente
Algebert
Messaggi: 330
Iscritto il: 31 lug 2008, 20:09
Località: Carrara
Contatta:

Messaggio da Algebert » 21 set 2008, 12:40

piever ha scritto:No Algebert, non è omogenea...
Giusto lo noto solo adesso :o . Altrimenti si semplificava troppo 8) .
Comunque anche con quell'hint non riesco ad andare avanti :( ...
"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."

piever
Messaggi: 645
Iscritto il: 18 feb 2006, 13:15
Località: Roma
Contatta:

Messaggio da piever » 25 set 2008, 18:52

Bon, è passato abbastanza tempo:

L'unico caso difficile è x,y<1

sia n un intero positivo tale che $ \frac{1}{n}>x\ge\frac{1}{n+1} $ e m un intero positivo tale che $ \frac{1}{m}>y\ge\frac{1}{m+1} $

Ora chiaramente $ x^y+y^x>\sqrt[m]{\frac{1}{n+1}}+\sqrt[n]{\frac{1}{m+1}} $

Per Bernoulli abbiamo che $ (1+\frac{n}{m})^m\ge 1+n $, da cui $ 1+\frac{n}{m}\ge\sqrt[m]{1+n} $, da cui $ \sqrt[m]{\frac{1}{n+1}}+\sqrt[n]{\frac{1}{m+1}}\ge \frac{1}{1+\frac{n}{m}}+\frac{1}{1+\frac{m}{n}}=1 $
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)

Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Messaggio da jordan » 23 nov 2008, 13:39

Non è piu tanto di origini incerte :wink:

French Mathmatical Olympiad, 1996
The only goal of science is the honor of the human spirit.

Rispondi