equazione con parti intere

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L'ale
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equazione con parti intere

Messaggio da L'ale » 02 set 2008, 17:51

Trovare tutte le soluzioni reali dell'equazione:
x[x[x]]=84

Secondo il mio ragionamento x è circa 4. Ma come si scrivono tutte le soluzioni reali?

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Gatto
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Messaggio da Gatto » 02 set 2008, 18:53

Le parentesi quadre per cosa stanno?
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Haile
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Messaggio da Haile » 02 set 2008, 19:08

Gatto ha scritto:Le parentesi quadre per cosa stanno?
Si può scrivere anche:

$ $x \lfloor {x \lfloor {x \rfloor \rfloor}} = 84$ $

Ad indicare la floor function

Ad esempio

$ $ \lfloor {4.\overline{6} \rfloor } = 4$ $


$ $ \lfloor {\pi \rfloor } = 3$ $

In italiano è la funzione parte intera.

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Haile
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Messaggio da Haile » 02 set 2008, 20:32

Provo a risolverlo, comunque.

$ $ x \lfloor x \lfloor x \rfloor \rfloor = 84$ $

$ $ f(x) := x \lfloor x \lfloor x \rfloor \rfloor$ $

È una funzione debolmente crescente, in quanto presi due x a caso si ha che

$ $x_1 > x_2$ $ implica $ $f(x_1) \geq f(x_2)$ $

Allora pongo prima $ $x = 4.5$ $ e poi $ $x = 5$ $:

$ $ f(4.5) = 81 $ $

$ $ f(5) = 125 $ $

e deduco che $ $4.5<x<5$ $

ma se x è compreso in questo intervallo, ne consegue che $ \lfloor x \rfloor = 4$ $, quindi pongo la floor function più interna pari a 4. L'equazione diventa

$ $x \lfloor 4x \rfloor = 84$ $

Ma $ $\lfloor 4x \rfloor = \frac{84}{x}$ $, quindi $ $\frac{84}{x}$ $ sarà intero.

Esistono solo due interi che soddisfano questa relazione con la restrizione 4.5 < x < 5, e sono 17 (con x = 4.9 circa) e 18 (con x=4.666).

Quindi la soluzione è una tra quelle di

$ $17x=84$ $

$ $18x=84$ $

Rispettivamente $ $\frac{84}{17}$ $ e $ $\frac{14}{3}$ $.

Verificando i valori abbiamo che

$ $f \bigg( \frac{84}{17} \bigg) = \frac{1596}{17} $ $

$ $f \bigg( \frac{14}{3} \bigg) = 84 $ $

La soluzione cercata è la seconda:

$ $\boxed{x=4.\overline{6}}$ $

fede90
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Messaggio da fede90 » 02 set 2008, 21:00

Oppure riscrivo $ $x=4+d$ $con $ $\frac{1}{2}\leq d < 1$ $. Sostituendo ottengo $ $(4+d)[16 +4d]=84$ $ cioè (portando fuori il 16) $ $16d+(4+d)[4d]=20$ $.

CASO 1: $ $\frac{1}{2}\leq d < \frac{3}{4}$ $ sostituendo ottengo $ $16d+(4+d)\cdot 2=20\Rightarrow d=\frac{2}{3}$ $.

CASO 2: $ $\frac{3}{4}\leq d < 1$ $ sostituendo ho $ $16d+(4+d)\cdot 3=20 \Rightarrow d=\frac{8}{19}<\frac{3}{4}$ $ che non va bene.

Quindi l'unica soluzione è $ $x=4+\frac{2}{3}$ $
Bene, prendiamo un pentagono di [tex]$n$[/tex] lati...

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Haile
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Messaggio da Haile » 02 set 2008, 21:06

fede90 ha scritto:Oppure riscrivo $ $x=4+d$ $con $ $\frac{1}{2}\leq d < 1$ $. Sostituendo ottengo $ $(4+d)[16 +4d]=84$ $ cioè (portando fuori il 16) $ $16d+(4+d)[4d]=20$ $.

CASO 1: $ $\frac{1}{2}\leq d < \frac{3}{4}$ $ sostituendo ottengo $ $16d+(4+d)\cdot 2=20\Rightarrow d=\frac{2}{3}$ $.

CASO 2: $ $\frac{3}{4}\leq d < 1$ $ sostituendo ho $ $16d+(4+d)\cdot 3=20 \Rightarrow d=\frac{8}{19}<\frac{3}{4}$ $ che non va bene.

Quindi l'unica soluzione è $ $x=4+\frac{2}{3}$ $
Quindi anche la mia è giusta? :shock:

Incredibile, è la seconda volta da quando sono iscritto *Incide un'altra tacca sulla scrivania*

fede90
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Messaggio da fede90 » 02 set 2008, 21:08

Haile ha scritto: Quindi anche la mia è giusta? :shock:
Si dai, non possiamo mica averla sbagliata in due :wink:
Bene, prendiamo un pentagono di [tex]$n$[/tex] lati...

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