IMO 2005 carino

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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exodd
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IMO 2005 carino

Messaggio da exodd » 20 ago 2008, 09:59

siano x,y,z, numeri reali positivi tali che $ xyz>=1 $
dimostrare che

$ \displaystile\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}+\frac{y^5-y^2}{x^5+y^2+z^2}+\frac{z^5-z^2}{x^5+y^2+z^2}>=0 $
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
ispiratore del BTA

in geometry, angles are angels

"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"

Alex90
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Messaggio da Alex90 » 20 ago 2008, 10:22

Credo che il testo sia un po' sbagliato :wink:
Quello giusto è
$ \displaystyle\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}+\frac{y^5-y^2}{y^5+z^2+x^2}+\frac{z^5-z^2}{z^5+x^2+y^2} \ge 0 $

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exodd
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Messaggio da exodd » 20 ago 2008, 11:41

scusa è vero :wink:
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
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Alex89
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Messaggio da Alex89 » 11 set 2008, 14:02

[Qui una volta c'era una marea di conti totalmente inutile]
Ultima modifica di Alex89 il 11 set 2008, 17:07, modificato 1 volta in totale.

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Evelynn
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Messaggio da Evelynn » 11 set 2008, 16:58

Dopo un po' di passaggi, sono arrivata ad avere la seconda disequazione come:

$ \frac {(x^2+y^2+z^2)(x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3+2(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)+3(x^2+y^2+z^2)^2)}{x^3y^3z^3+(x^2y^2z^2)(x^3z^3+x^3y^3+y^3z^3)+(x^2+y^2+z^2)^2(x^3+y^3+z^3)+(x^2+y^2+z^2)^3} $

il tutto minore o uguale a 3

(come si fa il minore uguale in Latex?)
Musica est exercitium aritmeticae occultum nescientis se numerari animi. (Leibniz)

La matematica può essere definita come la scienza in cui non sappiamo mai di che cosa stiamo parlando, né se ciò che diciamo è vero. (B. Russell)

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Haile
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Messaggio da Haile » 11 set 2008, 17:11

Evelynn ha scritto:Dopo un po' di passaggi, sono arrivata ad avere la seconda disequazione come:

$ \frac {(x^2+y^2+z^2)(x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3+2(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)+3(x^2+y^2+z^2)^2)}{x^3y^3z^3+(x^2y^2z^2)(x^3z^3+x^3y^3+y^3z^3)+(x^2+y^2+z^2)^2(x^3+y^3+z^3)+(x^2+y^2+z^2)^3} $

il tutto minore o uguale a 3

(come si fa il minore uguale in Latex?)

Codice: Seleziona tutto

$a \geq b$
$ $a \leq b$ $
[i]
Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.

[/i]

Alex89
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Messaggio da Alex89 » 11 set 2008, 17:20

a\geq è il segno di maggiore o uguale

$ a \geq b $

a \leq è il segno di minore o uguale

$ a \leq b $

Alex90
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Messaggio da Alex90 » 11 set 2008, 20:37

$ $ \frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}+\frac{y^5-y^2}{y^5+z^2+x^2}+\frac{z^5-z^2}{z^5+x^2+y^2} \ge 0 $
$ $ \frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2} - 1 +\frac{y^5-y^2}{y^5+z^2+x^2} - 1 +\frac{z^5-z^2}{z^5+x^2+y^2} - 1 \ge -3 $
$ $ \sum_{cyc} \frac{x^5-x^2-(x^5+y^2+z^2)}{x^5+y^2+z^2} \ge -3 $
$ $ - \sum_{cyc} \frac{x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2} \ge -3 $
$ $ \sum_{cyc} \frac{x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2} \le 3 $

Ora usiamo Cauchy-Schwarz

$ $ x^2 + y^2 + z^2 = x^{\frac{5}{2}} \cdot x^{-\frac{1}{2}} + y \cdot y + z \cdot z $

Quindi

$ $ \left (x^2 + y^2 + z^2 \right )^2 \le \left (x^5 + y^2 + z^2 \right ) \left (x^{-1} + y^2 + z^2 \right ) $

Inoltre se $ $ xyz \ge 1 \Rightarrow x^{-1} \le yz $

$ $ \left (x^2 + y^2 + z^2 \right )^2 \le \left (x^5 + y^2 + z^2 \right ) \left (x^{-1} + y^2 + z^2 \right ) $$ $ \le \left (x^5 + y^2 + z^2 \right ) \left (yz + y^2 + z^2 \right ) $

Da cui

$ $ \frac{x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2} \le \frac{yz+y^2+z^2}{x^2+y^2+z^2} $

$ $ \sum_{cyc} \frac{x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2} \le \sum_{cyc} \frac{yz+y^2+z^2}{x^2+y^2+z^2} $ che spero sia $ $ \le 3 $
$ $ \sum_{cyc} \frac{yz+y^2+z^2}{x^2+y^2+z^2} \le 3 $
$ $ \frac{xy+yz+zx+2(x^2+y^2+z^2)}{x^2+y^2+z^2} \le 3 $
$ $ \frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2} + 2 \le 3 $
$ $ \frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2} \le 1 $
$ $ x^2+y^2+z^2 \ge xy + yz + zx $
$ $ \frac{1}{2} \sum_{sym} x^2 \ge \frac{1}{2} \sum_{sym} xy $
che è vera per Muirhead

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 13 set 2008, 20:21

Muirhead ... o mamma ... quello è il riarrangiamento e un sacco di altre cose ... non è mai molto estetico cercare di abbattere a cannonate le farfalle.

Alex90
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Messaggio da Alex90 » 14 set 2008, 15:47

Eh lo so ma se adesso sto studiando quello mi viene meglio e soprattutto mi allena vagamente a quello...a parte questo si è vero è una cannonata quando basta una pistola ad acqua :D

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Messaggio da Alex90 » 18 set 2008, 21:01

Rivisto il topic di sfuggita...facciamola pulita per fare contento EvaristeG :D

$ $x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx $

$ $2(x^2 + y^2 + z^2) \ge 2(xy + yz + zx) $

$ $x^2 - 2xy + y^2 + y^2 -2yz + z^2 + z^2 - 2zx + x^2 \ge 0 $

$ $ (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \ge 0 $

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