Disuguaglianza dall'Engel

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Algebert
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Disuguaglianza dall'Engel

Messaggio da Algebert » 05 ago 2008, 21:17

Siano $ $a, b, c$ $ i lati di un triangolo. Dimostrare allora che:

$ $\frac {a}{b + c - a} + \frac {b}{c + a - b} + \frac {c}{a + b - c} \ge 3$ $

Io la trovo abbastanza fattibile. Spero non sia già stata postata.

Ciao a tutti e buon lavoro :wink:
Alessio
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¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
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Messaggio da ¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ » 05 ago 2008, 21:44

uff..una volta che posto in algebra -.-
Ultima modifica di ¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ il 05 ago 2008, 21:53, modificato 1 volta in totale.

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 05 ago 2008, 21:50

Gabriel, o scrivi una soluzione decente o non scrivi niente.
Inoltre, visto che ti sembra così banale, magari puoi lasciarla agli altri senza rovinare il divertimento postando il modo ma non i conti...

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l'Apprendista_Stregone
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Messaggio da l'Apprendista_Stregone » 06 ago 2008, 01:19

Bene
se $ $a,b,c$ $ sono i lati di un triangolo possiamo scrivere:
$ $a=x+y,b=x+z,c=z+y$ $
Riscrivendo la diseguaguaglianza e svolgendo i calcoli otteniamo che:
$ $\frac {x^2y +y^2x+x^2z+z^2x+z^2y+y^2z}{2xyz}\ge 3$ $
da cui $ $\frac {x^2y +y^2x+x^2z+z^2x+z^2y+y^2z}{6}\ge xyz $ $
Che altro non sarebbe se non AM-GM
:roll:

Ciao!
Ultima modifica di l'Apprendista_Stregone il 06 ago 2008, 15:45, modificato 1 volta in totale.
There's a feeling I get when I look to the west
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In my thoughts I have seen rings of smoke through the trees
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Algebert
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Messaggio da Algebert » 06 ago 2008, 10:25

@ l'Apprendista_Stregone:
anch'io ho ragionato come te :wink: . Tuttavia l'Engel la dimostra in questo modo:
poniamo $ $x = b + c - a$ $, $ $y = c + a - b$ $ e $ $z = a + b - c$ $. Poiché $ $a, b, c$ $ sono i lati di un triangolo, per la disuguaglianza triangolare allora $ $x, y, z$ $ sono tutti positivi. Dalle precedenti relazioni possiamo facilmente ricavare che:

$ $a = \frac {y + z}{2}$ $, $ $b = \frac {x + z}{2}$ $, $ $c = \frac {x + y}{2}$ $

Perciò sostituendo le espressioni trovate la disuguaglianza diventa:

$ $\frac {1}{2} \left(\frac {y}{z} + \frac {z}{y} + \frac {x}{y} + \frac {y}{x} + \frac {x}{z} + \frac {z}{x} \right) \ge 3$ $

Ora, l'LHS è sicuramente una quantità maggiore o uguale a 3; per dimostrarlo basta applicare questo semplice lemma tre volte:

$ $\frac {x}{y} + \frac {y}{x} \ge 2$ $

con $ $x, y$ $ quantità positive. Si vede anche facilmente che l'uguaglianza sussiste solo quando:

$ $x = y = z \Rightarrow b + c - a = c + a - b = a + b - c \Rightarrow a = b = c$ $

cioè quando il triangolo è equilatero :) .
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