disuguaglianza, algebra (?)

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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mod_2
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disuguaglianza, algebra (?)

Messaggio da mod_2 » 04 ago 2008, 15:29

Dati n numeri positivi $ $a_1,~a_2,~...~a_n $ ed un intero non negativo k, dimostrare che
$ $\frac{a_1^k+a_2^k+...+a_n^k}{n}\leq\frac{a_1^{k+1}+a_2^{k+1}+...+a_n^{k+1}}{a_1+a_2+...+a_n} $
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¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
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Messaggio da ¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ » 04 ago 2008, 19:45

dividendo LHS per la media k-esima elevata alla k+1 e RHS per la media k+1-esima elevata alla k+1 rimane media k-esima maggiore o uguale a AM che è vera.

Alex89
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Messaggio da Alex89 » 04 ago 2008, 21:25

Oppure:

$ $\frac{a_1^k+a_2^k+...+a_n^k}{n}\leq\frac{a_1^{k+1}+a_2^{k+1}+...+a_n^{k+1}}{a_1+a_2+...+a_n}* \frac{n}{n} $

$ \displaystyle \frac{a_1^k+a_2^k+...+a_n^k}{n}*\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\leq \frac{a_1^{k+1}+a_2^{k+1}+...+a_n^{k+1}}{n} $

ossia
$ [Media (K)]^k(AM) \leq [Media (K+1)]^k [Media (K+1)] $

e questa è la disuguaglianza delle medie p-esime.

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mod_2
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Messaggio da mod_2 » 04 ago 2008, 21:33

ok, è troppo semplice.:D
Rilancio: Dimostrarlo nel maggior numero di modi possibili.
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exodd
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Messaggio da exodd » 05 ago 2008, 09:42

aggiungo:
trovare una soluzione senza usare medie k-esime
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
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in geometry, angles are angels

"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"

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Messaggio da g(n) » 05 ago 2008, 11:47

Moltiplicando per i denominatori si arriva a
$ \displaystyle \sum a_i \sum a_i^{k}\leq n \sum a_i^{k+1} $
che è vera per Chebycheff considerato che le n-uple $ (a_1,..,a_n) $ e $ (a_1^k,...,a_n^k) $sono ordinate allo stesso modo

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Anér
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Messaggio da Anér » 05 ago 2008, 15:49

Innanzitutto mi presento: sono Andrea Bianchi, e benché mi sia iscritto a giugno sul forum, questa è la prima volta che aggiungo un post (WOWWW!!!).
E se per il problema di cui sopra non conoscessimo né le diseguaglianze tra le medie, né la disuguaglianza di Chebycheff, né qualsiasi altra diseguaglianza famosa? Qualcuno provi a fare la dimostrazione con la trigonometria!

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Anér
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Messaggio da Anér » 05 ago 2008, 16:37

Intendevo rinnovare l'invito a trovare altre dimostrazioni, e sarebbe più che sorprendente se qualcuno usasse la trigonometria. Non intendo dire che io sarei in grado di dare la dimostrazione con la trigonometria!

Barsanti
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Messaggio da Barsanti » 05 ago 2008, 17:37

magari l'induzione?

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Anér
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Messaggio da Anér » 06 ago 2008, 11:30

Oh, che bella idea! E dire che l'induzione si può fare sia su n che su k!
Sono il cuoco della nazionale!

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