due lemmi molto noti + una difficile generalizzazione

[jordan]

Siano $ (x,y,z) \in (\mathbb{R}^+)^3 $ e sia data la funzione $ f: (\mathbb{R}^+)^3 \to \mathbb{R} $:

$ f(x,y,z)= $$ \displaystyle (\frac{x+y+z}{3})^a(\frac{xy+yz+zx}{3})^{\frac{3-a}{2}} - \frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{8}, \text{ con } a \in \mathbb{R} $.

i) Lemma 1. Mostrare che se $ a=1 $ allora $ f(x,y,z) \le 0 $.

ii) Lemma 2. Mostrare che se $ a=3 $ allora $ f(x,y,z) \ge 0 $.

iii) Problema. Trovare il minimo valore di $ a>1 $ tale che la disuguaglianza $ f(x,y,z) \ge 0 $ è sempre valida (per x,y,z reali positivi).


Buon lavoro..

[gianmaria]

$ (\mathbb{R}^+)^3 $

Cosa significa?

[edriv]

$ (\mathbb{R}^+)^3 $

Cosa significa?

niente di speciale... è l'insieme delle terne di reali positivi.

[l'Apprendista_Stregone]

Provo a risolvere il lemma 2.
Per $ $a=3$ $ la tesi diventa $ $(\frac{x+y+z}{3})^3 \ge \frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{8}$ $
Ponendo $ $x+y=2c$ $ , $ $y+z=2d$ $ , $ $z+x=2e$ $
ottengo
$ $(\frac{c+d+e}{3})^3 \ge cde$ $ e quindi $ $\frac{c+d+e}{3} \ge \sqrt[3]{cde}$ $ che sarebbe AM-GM

Sperando sempre di non aver sparato cavolate

[Haile]

Lemma 1

Se $ $a=1$ $ dobbiamo dimostrare che

$ $\frac{(x+y+z)(xy+yz+xz)}{9} \leq \frac{(x+y)(y+z)(x+z)}{8}$ $

svolgendo

$ $\frac{x^2y + x^2z + xy^2 + z^2x + y^2z + z^2y + 3xyz}{9}$ $$ $\leq$ $$ $\frac{x^2y + x^2z + xy^2 + z^2x + y^2z + z^2y + 2xyz}{8}$ $

...

EDIT
LOL

che nabbo, cancellato da qua errore mostruoso

[leonim]

@Haile: non puoi semplificare termini che hanno un denominatore diverso.

Io, arrivato allo svolgimento dei prodotti come fatto da Haile, sono andato avanti cosi:
moltiplico entrambi i membri per il m.c.m dei denominatori e semplificando ottengo:
$ x^2y+x^2z+y^2z+y^2x+z^2x+z^2y-6xyz\ge 0 $
$ \displaystyle\sum_{sym}{x^2y}\ge \sum_{sym}{xyz} $
che e' vera per bunching.

[jordan]

$ \displaystyle\sum_{sym}{x^2y}\ge \sum_{sym}{xyz} $ che e' vera per bunching.

ok i due lemmi sono a posto, chi prova adesso il problema?