due lemmi molto noti + una difficile generalizzazione

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
Rispondi
Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

due lemmi molto noti + una difficile generalizzazione

Messaggio da jordan » 21 lug 2008, 09:28

Siano $ (x,y,z) \in (\mathbb{R}^+)^3 $ e sia data la funzione $ f: (\mathbb{R}^+)^3 \to \mathbb{R} $:

$ f(x,y,z)= $$ \displaystyle (\frac{x+y+z}{3})^a(\frac{xy+yz+zx}{3})^{\frac{3-a}{2}} - \frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{8}, \text{ con } a \in \mathbb{R} $.

i) Lemma 1. Mostrare che se $ a=1 $ allora $ f(x,y,z) \le 0 $.

ii) Lemma 2. Mostrare che se $ a=3 $ allora $ f(x,y,z) \ge 0 $.

iii) Problema. Trovare il minimo valore di $ a>1 $ tale che la disuguaglianza $ f(x,y,z) \ge 0 $ è sempre valida (per x,y,z reali positivi).


Buon lavoro..
The only goal of science is the honor of the human spirit.

gianmaria
Messaggi: 199
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: provincia di Asti

Re: due lemmi molto noti + una difficile generalizzazione

Messaggio da gianmaria » 27 lug 2008, 21:01

jordan ha scritto: $ (\mathbb{R}^+)^3 $
Cosa significa?

Avatar utente
edriv
Messaggi: 1638
Iscritto il: 16 feb 2006, 19:47
Località: Gradisca d'Isonzo
Contatta:

Re: due lemmi molto noti + una difficile generalizzazione

Messaggio da edriv » 27 lug 2008, 21:15

gianmaria ha scritto:
jordan ha scritto: $ (\mathbb{R}^+)^3 $
Cosa significa?
niente di speciale... è l'insieme delle terne di reali positivi.

Avatar utente
l'Apprendista_Stregone
Messaggi: 106
Iscritto il: 29 lug 2007, 00:41

Messaggio da l'Apprendista_Stregone » 28 lug 2008, 11:28

Provo a risolvere il lemma 2.
Per $ $a=3$ $ la tesi diventa $ $(\frac{x+y+z}{3})^3 \ge \frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{8}$ $
Ponendo $ $x+y=2c$ $ , $ $y+z=2d$ $ , $ $z+x=2e$ $
ottengo
$ $(\frac{c+d+e}{3})^3 \ge cde$ $ e quindi $ $\frac{c+d+e}{3} \ge \sqrt[3]{cde}$ $ che sarebbe AM-GM

Sperando sempre di non aver sparato cavolate :roll:
Ultima modifica di l'Apprendista_Stregone il 28 lug 2008, 12:35, modificato 3 volte in totale.
There's a feeling I get when I look to the west
And my spirit is crying for leaving
In my thoughts I have seen rings of smoke through the trees
And the voices of those who stand looking

Avatar utente
Haile
Messaggi: 515
Iscritto il: 30 mag 2008, 14:29
Località: Bergamo

Messaggio da Haile » 28 lug 2008, 12:11

Lemma 1

Se $ $a=1$ $ dobbiamo dimostrare che

$ $\frac{(x+y+z)(xy+yz+xz)}{9} \leq \frac{(x+y)(y+z)(x+z)}{8}$ $

svolgendo

$ $\frac{x^2y + x^2z + xy^2 + z^2x + y^2z + z^2y + 3xyz}{9}$ $$ $\leq$ $$ $\frac{x^2y + x^2z + xy^2 + z^2x + y^2z + z^2y + 2xyz}{8}$ $

...

EDIT
LOL

che nabbo, cancellato da qua errore mostruoso
Ultima modifica di Haile il 28 lug 2008, 13:39, modificato 2 volte in totale.

leonim
Messaggi: 10
Iscritto il: 12 mag 2008, 14:03
Località: Padova

Messaggio da leonim » 28 lug 2008, 13:27

@Haile: non puoi semplificare termini che hanno un denominatore diverso.

Io, arrivato allo svolgimento dei prodotti come fatto da Haile, sono andato avanti cosi:
moltiplico entrambi i membri per il m.c.m dei denominatori e semplificando ottengo:
$ x^2y+x^2z+y^2z+y^2x+z^2x+z^2y-6xyz\ge 0 $
$ \displaystyle\sum_{sym}{x^2y}\ge \sum_{sym}{xyz} $
che e' vera per bunching.

Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Messaggio da jordan » 31 lug 2008, 08:29

leonim ha scritto:$ \displaystyle\sum_{sym}{x^2y}\ge \sum_{sym}{xyz} $ che e' vera per bunching.
ok i due lemmi sono a posto, chi prova adesso il problema?
The only goal of science is the honor of the human spirit.

Rispondi