sommatoria di n^2

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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snaggy
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sommatoria di n^2

Messaggio da snaggy » 21 mag 2008, 16:30

come si risolve la sommatoria per n che va da 1 a k di n^2 ?

es: con k = 5:

1+4+9+16+25 = 55

ma con k alti ovviamente non posso farlo a mente! come si ricava una soluzione generica del problema?

grazie
Luca

gabri
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Messaggio da gabri » 21 mag 2008, 17:12

è una semplice somma di quadrati:

$ \displaystyle \sum_{n=0}^{k}n^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} $

è anche carina da dimostrare!
se avessi cercato sul forum prima di aprire un nuovo topic (peraltro in una sezione dedicata al problem solving), l'avresti sicuramente trovato! :wink:

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Jonny Tendenza
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Messaggio da Jonny Tendenza » 21 mag 2008, 18:10

Qua ci sono i passaggi che ti portano a quella formula! :)

Esiste anche una dimostrazione che fa uso dei numeri di Bernoulli.

Ciao! :o

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Desmo90
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Messaggio da Desmo90 » 21 mag 2008, 18:16

più interessante: viewtopic.php?t=5702

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elianto84
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Messaggio da elianto84 » 12 giu 2008, 19:47

Oppure: si prova per induzione sulla struttura del triangolo di Tartaglia
(ogni numero è somma dei due che lo sovrastano, detta spiccia) che

$ \sum_{n=k}^{m}{n \choose k}={{m+1} \choose {k+1}} $

A questo punto un polinomio in $ n $ di $ k- $esimo grado
può essere espresso come combinazione lineare a coefficienti razionali
di $ \left\{{n \choose 0},{n \choose 1},\ldots,{n \choose k}\right\} $
e sommato su $ n $.

Per intenderci

$ \sum_{n=1}^{m} n^2 = 2 \sum_{n=1}^{m}{n \choose 2}+\sum_{n=1}^{m} {n \choose 1} = 2{{m+1} \choose 3} + {{m+1} \choose 2} $

Et le jeux sont faits.
(Dovrebbe essere anche sul vecchio forum...)
Jack alias elianto84 alias jack202

http://www.matemate.it IL SITO

.::Achtung!!::. - Jordan causa nilpotenza -

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