Polinomio da costruire

[angus89]

Costruire il polinomio (a coefficienti reali)

$ \displaystyle P(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2} $

varificante le condizioni
-$ \displaystyle P(x,y)=0 $ soltanto per $ \displaystyle x=y=0 $
-Se $ \displaystyle x $ e $ \displaystyle y $ sono due numeri interi allora anche $ \displaystyle P(x,y) $ è un intero.

Determinare poi il massimo della quantità
$ \displaystyle \Delta=b^{2}-4ac $
al variare di P nell'insieme dei polinomi soddisfacenti le proprietà precedenti

[angus89]

Nessuno?
Bè io ammetto di non evere idee...
Mi limito a fare alcune osservazioni...
per
$ \displaystyle x=y=1 $ succede che $ \displaystyle P(x,y)=intero $
quindi
$ \displaystyle P(1,1)=a+b+c $
quindi la somma dei coefficienti deve esser un numero intero...

Bè a questo punto non mi sento di voler fare altre osservazioni...anche se ce ne sarebbero...

[darkcrystal]

Allora ti hinto un po'...
1) sarebbe simpatico dimostrare che tutti i coefficienti sono interi...
2) 0 è un intero!
3) hai fisicamente provato a scrivere un polinomio come richiesto dal testo? E questo polinomio... che delta ha?
4) Se fissi y=1... e $ p(x,1) \neq 0 $...

[angus89]

Allora ti hinto un po'...
1) sarebbe simpatico dimostrare che tutti i coefficienti sono interi...

Se bè più che simpatico sarebbe la soluzione...(se è così...cosa di cui non sono affatto sicuro)

2) 0 è un intero!

e bè...

3) hai fisicamente provato a scrivere un polinomio come richiesto dal testo? E questo polinomio... che delta ha?

Logico che ci ho provato...
Delta negativo...
Il polinomio più facile da costruire è un polinomio fatto da interi con delta negativo...
sia fissando x che fissando y

4) Se fissi y=1... e $ p(x,1) \neq 0 $...

E bè...imponi solo delta negativo...cosa che già fai immaginando di fissare la y

Bè il problema è questo...
Bisogna indagare sulla natura dei coefficienti (il problema ci dice che sono REALI), se riuscissimo a scoprire che sono interi...detto fatto abbiamo risolto il problema...
Altrimenti...

[Sesshoumaru]

Bè il problema è questo...
Bisogna indagare sulla natura dei coefficienti (il problema ci dice che sono REALI), se riuscissimo a scoprire che sono interi...detto fatto abbiamo risolto il problema...
Altrimenti...

2) 0 è un intero!

e bè...

$ P(1,0) = a = intero $
$ P(0,1) = c = intero $
$ P(1,1) = a + b + c = intero \Rightarrow $ b è intero

ps. confesso di non saper andare avanti

[angus89]

$ P(1,0) = a = intero $
$ P(0,1) = c = intero $
$ P(1,1) = a + b + c = intero \Rightarrow $ b è intero

ps. confesso di non saper andare avanti

Modò...e io che ci sbattevo la testa...
Bè mi sembra ovvio che il problema è risolto...

perchè scusa ora devi determinare il valore massimo di
$ \displaystyle b^{2}-4ac $
che è minore di 0
E bè il valore massimo si ha per il numero con questa forma negativo che più si avvicina a 0
Questo numero dopo un pò di osservazioni è $ \displaystyle -3 $

[pic88]

Occhio, sarebbe buona norma fare un esempio di polinomio che realizza il massimo e che abbia quelle proprietà

[angus89]

infatti...credo di averlo trovato...
Perchè se poniamo $ \displaystyle b^{2}=0 $ il delta viene positivo (e non và bene) o minore di $ \displaystyle -4 $ (e non và bene)
Quindi poniamo $ \displaystyle a=b=c=1 $ e otteniamo $ \displaystyle -3 $

[angus89]

esempio
$ \displaystyle P(x,y)=x^{2}+xy+y^{2} $

[darkcrystal]

[@Sesshoumaru: si, intendevo quello, con '0 è un intero' ]

Forse mi è sfuggita leggendo, ma manca ancora la dimostrazione che -3 è effettivamente il massimo, per concludere! Per quello che ho letto finora sappiamo solo che -3 si può ottenere, ma non che è il massimo ottenibile! (E' facile, ma proprio per fare le cose precise...)

[pic88]

Mi pare che angus l'abbia detto: -1 e -2 non possono essere della forma b^2-4ac

[angus89]

Mi pare che angus l'abbia detto: -1 e -2 non possono essere della forma b^2-4ac

metti che $ \displaystyle b^2 $ è come minimo 1...
qiondi -1 e -2 non possono avere quella forma...
credo

[pic88]

Beh, più semplicemente direi che b^2=2,3 è un po' assurdo modulo 4